Wert einer unendlichen Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wie kann ich den Wert einer unendlichen Reihe bestimmen?
Konkrete Aufgabe:
Der Wert von: [mm] \summe_{i=4}^{\infty} (-1)^i/2i [/mm] = 1/8 - 1/10 + 1-12 - 1/14 ...
Durch Aufsummieren, z.b. bis 10000 sehe ich, daß der Wert ca. 0,07 sein muss. Wie kann ich es aber "richtig" berechnen?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Fr 28.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich habe das zwar nicht wirklich bis zum ende durchgerechnet, aber ich denke mal, das man mit folgenden umformungen
[m] \sum_{i=4}^\infty \frac{(-1)^i}{2i} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^i}{i} - \sum_{i=1}^3 \frac{(-1)^i}{2i} [/m]
weiterkommt.
nun kann man den einzigen nicht so ohne weiteres berechenbaren summanden - nämlich die unendliche reihe - wohl durch eine potenzreihenentwicklung in den griff bekommen.
es gilt: [m] \frac{1}{1+x} = \sum_{i=0}^\infty (-1)^ix^i [/m] (geometrische reihe). integriert man nun auf beiden seiten (warum darf man auf der rechten seite summandenweise integrieren?) sollte man auf der rechten seite für [m] x = 1 [/m] die oben gesuchte reihe erhalten.
du kannst ja mit diesem ansatz mal etwas herumprobieren, wenn du nicht weiterkommen solltest kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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Ich komme nicht weiter. Laut Formelsammlung ist der Wert einer geometrischen Reihe für [mm] q\le-1 [/mm] und [mm] a_{1}\not=0 [/mm] unbestimmt.
Bezogen auf z.b. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{1}*q^{i-1}
[/mm]
Ich würde mich freuen wenn du es doch noch bis zum Ende durchrechnest.
Anmerkung: es war ne Klausuraufgabeteilaufgabe , für die man < 10 min Zeit hat. Leider fehlt mir da komplett der Durchblick. Bei "einfacheren" Reihen, konnte ich bisher durch Klammerung, Umstellen und Vergleich mit bekannten Reihen den Wert ausrechnen.
EDIT: Ich hab nun die Lösung. (Wie kann man auf seinen eigenen Beitrag antworten?). Und zwar folgendes:
1.) Man muss wissen, daß [mm] ln(2)=1-1/2+1/3-1/4 ... [/mm] ist.
(Woher weiß man daß eigentlich? Bzw. wo gibts ne Übersicht über weitere "typische" Reihen?
2.) Man schreibt sich ersten paar Glieder, der in der Frage stehenden Reihe, hin.
3.) Man sieht, daß sich beide Reihen ähneln.
4.) Durch Umformung kommt man auf [mm] -1/2 ln(2)+1/2-1/4+1/6 = 1/8-1/10+1/12 ... [/mm]
5.) In den Taschenrechner einkloppen
Wenn jemand eine bessere oder allgemeinere Methode kennt bitte nennen. Auch an einer Methode die nicht auf Umformen & Vergleichen basiert bin ich interessiert.
Danke für eure Zeit.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Sa 29.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich komme nicht weiter. Laut Formelsammlung ist der Wert
> einer geometrischen Reihe für [mm]q\le-1[/mm] und [mm]a_{1}\not=0[/mm]
> unbestimmt.
>
> Bezogen auf z.b. [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_{1}*q^{i-1}
[/mm]
du hast natürlich recht, dass die reihe wie sie dasteht für $x=1$ nicht konvergiert (für $|x| < 1$ tut sie es), wenn du sie aber summandenweise integrierst (mache das doch bitte einfach mal), so erhälst du eine reihe, die für $x=1$ nach dem leibniz-kriterium konvergiert. man muss sich dann natürlich noch überlegen, warum die reihe gegen den selben wert konvergiert, wie wenn du die linke seite der von mir angegeben gleichung integrierst und für $x=1$ einsetzt. rechne das aber doch zumindest mal bis dahin!
> Ich würde mich freuen wenn du es doch noch bis zum Ende
> durchrechnest.
>
> Anmerkung: es war ne Klausuraufgabeteilaufgabe , für die
> man < 10 min Zeit hat. Leider fehlt mir da komplett der
> Durchblick. Bei "einfacheren" Reihen, konnte ich bisher
> durch Klammerung, Umstellen und Vergleich mit bekannten
> Reihen den Wert ausrechnen.
ich habe nicht wirklich ahnung, wie man das in so kurzer zeit hinbekommen soll, wenn dir der wert der alternierenden harmonischen reihe bekannt ist (den du hier gerade berechnest) so geht da natürlich viel schneller).
grüße
andreas
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