Wert einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Werte der Summen:
1.) [mm] \summe_{k=1}^{n}n^{n-k}
[/mm]
2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ? |
Hallo meine Lieben,
wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich selbst nicht weiter komme.
zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem Ergebnis gekommen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}
[/mm]
wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis, jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich dies überhaupt zeigen muss).
zu 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10') sollte im Dezimalsystem doch [mm] \frac{10}{99} [/mm] sein.
und wenn n [mm] \to \infty [/mm] müsste dieser Wert [mm] \frac{1}{10} [/mm] werden ?! Oder habe ich hier etwas falsch verstanden ?
Bin leider mit Binärziffern ein bisschen auf Kriegsfuß haha..
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 13.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Werte der Summen:
>
> 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
>
> 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
>
> Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> Hallo meine Lieben,
>
> wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> selbst nicht weiter komme.
>
> zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
>
> wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> dies überhaupt zeigen muss).
>
> zu 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> sollte im Dezimalsystem doch [mm]\frac{10}{99}[/mm] sein.
> und wenn n [mm]\to \infty[/mm] müsste dieser Wert [mm]\frac{1}{10}[/mm]
> werden ?! Oder habe ich hier etwas falsch verstanden ?
Halla,
im Binärsystem haben die Stellen VOR dem Komma die Wertigkeit 1, 2, 4, 8, 16 ... usw.
Die Stellen NACH dem Komma bedeuten entsprechend 1/2, 1/4, 1/8 ...usw.
Die Summe ist 1/2+1/8+1/32+ ... [mm] +1/2^{2n-1}=0,5*(1+1/4+(1/4)^2+...+(1/4)^{n-1})
[/mm]
Jetzt Summenformel der geometrischen Reihe...
Gruß Abakus
>
> Bin leider mit Binärziffern ein bisschen auf Kriegsfuß
> haha..
>
> LG Scherzkrapferl
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> > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> >
> > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> >
> > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> >
> > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > Hallo meine Lieben,
> >
> > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > selbst nicht weiter komme.
> >
> > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > Ergebnis gekommen:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> >
> > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > dies überhaupt zeigen muss).
> >
> > zu 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > sollte im Dezimalsystem doch [mm]\frac{10}{99}[/mm] sein.
> > und wenn n [mm]\to \infty[/mm] müsste dieser Wert [mm]\frac{1}{10}[/mm]
> > werden ?! Oder habe ich hier etwas falsch verstanden ?
> Halla,
> im Binärsystem haben die Stellen VOR dem Komma die
> Wertigkeit 1, 2, 4, 8, 16 ... usw.
> Die Stellen NACH dem Komma bedeuten entsprechend 1/2, 1/4,
> 1/8 ...usw.
> Die Summe ist 1/2+1/8+1/32+ ...
> [mm]+1/2^{2n-1}=0,5*(1+1/4+(1/4)^2+...+(1/4)^{n-1})[/mm]
> Jetzt Summenformel der geometrischen Reihe...
> Gruß Abakus
Danke hatte gerade einen kompletten Denkfehler ;)
Summe sollte dann also so aussehen: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2i+1}} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] = 0.6666... ?!
LG Scherzkrapferl
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Hallo nochmal,
> > > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> > >
> > > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> > >
> > > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > >
> > > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > > Hallo meine Lieben,
> > >
> > > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > > selbst nicht weiter komme.
> > >
> > > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > > Ergebnis gekommen:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> > >
> > > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > > dies überhaupt zeigen muss).
> > >
> > > zu 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > > sollte im Dezimalsystem doch [mm]\frac{10}{99}[/mm] sein.
> > > und wenn n [mm]\to \infty[/mm] müsste dieser Wert
> [mm]\frac{1}{10}[/mm]
> > > werden ?! Oder habe ich hier etwas falsch verstanden ?
> > Halla,
> > im Binärsystem haben die Stellen VOR dem Komma die
> > Wertigkeit 1, 2, 4, 8, 16 ... usw.
> > Die Stellen NACH dem Komma bedeuten entsprechend 1/2,
> 1/4,
> > 1/8 ...usw.
> > Die Summe ist 1/2+1/8+1/32+ ...
> > [mm]+1/2^{2n-1}=0,5*(1+1/4+(1/4)^2+...+(1/4)^{n-1})[/mm]
> > Jetzt Summenformel der geometrischen Reihe...
> > Gruß Abakus
>
> Danke hatte gerade einen kompletten Denkfehler ;)
>
> Summe sollte dann also so aussehen: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2i+1}}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm] = 0.6666... ?!
Es kommt zwar [mm]\frac{2}{3}[/mm] heraus, jedoch nicht bei deiner Summe ...
Mit [mm]2n[/mm] Nachkommastellen hast du die Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{4^k}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}[/mm]
[mm]=\frac{2}{3}\cdot{}\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right][/mm]
Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]2/3[/mm]
Wenn du das direkt als unendliche Summe aufstellst, wie bei dir oben, so muss die bei [mm]i=0[/mm] starten und nicht bei [mm]i=1[/mm]
> LG Scherzkrapferl
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
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> > > > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> > > >
> > > > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> > > >
> > > > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > > >
> > > > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > > > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > > > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > > > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > > > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > > > Hallo meine Lieben,
> > > >
> > > > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > > > selbst nicht weiter komme.
> > > >
> > > > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > > > Ergebnis gekommen:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> > > >
> > > > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > > > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > > > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > > > dies überhaupt zeigen muss).
> > > >
> > > > zu 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > > > sollte im Dezimalsystem doch [mm]\frac{10}{99}[/mm] sein.
> > > > und wenn n [mm]\to \infty[/mm] müsste dieser Wert
> > [mm]\frac{1}{10}[/mm]
> > > > werden ?! Oder habe ich hier etwas falsch verstanden ?
> > > Halla,
> > > im Binärsystem haben die Stellen VOR dem Komma die
> > > Wertigkeit 1, 2, 4, 8, 16 ... usw.
> > > Die Stellen NACH dem Komma bedeuten entsprechend
> 1/2,
> > 1/4,
> > > 1/8 ...usw.
> > > Die Summe ist 1/2+1/8+1/32+ ...
> > > [mm]+1/2^{2n-1}=0,5*(1+1/4+(1/4)^2+...+(1/4)^{n-1})[/mm]
> > > Jetzt Summenformel der geometrischen Reihe...
> > > Gruß Abakus
> >
> > Danke hatte gerade einen kompletten Denkfehler ;)
> >
> > Summe sollte dann also so aussehen: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2i+1}}[/mm]
> = [mm]\frac{2}{3}[/mm] = 0.6666... ?!
>
> Es kommt zwar [mm]\frac{2}{3}[/mm] heraus, jedoch nicht bei deiner
> Summe ...
>
> Mit [mm]2n[/mm] Nachkommastellen hast du die Summe
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{4^k}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{2}{3}\cdot{}\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right][/mm]
>
> Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]2/3[/mm]
>
habe mich vertippt: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2i-1}}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm] = 0.6666... ?!
(minuszeichen in bei 2i-1)
siehe: ![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+i%3D1+to+infinity+of+%281%2F2%5E%282i-1%29%29 (sofern der link funktioniert) ;)
> Wenn du das direkt als unendliche Summe aufstellst, wie bei
> dir oben, so muss die bei [mm]i=0[/mm] starten und nicht bei [mm]i=1[/mm]
unsere professoren haben es bis jetzt immer akzeptiert ;)
auch wenn die formel dann geändert werden muss
LG Scherzkrapferl
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Hallo nochmal,
>
> unsere professoren haben es bis jetzt immer akzeptiert ;)
Hmm.
> auch wenn die formel dann geändert werden muss
Jo, denn für [mm]|q|<1[/mm] ist [mm]\sum\limits_{i=0}^{\infty}q^{i}=\frac{1}{1-q}[/mm] und [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}q^{i}=\left( \ \sum\limits_{i=0}^{\infty}q^{i} \ \right) \ - \ q^0[/mm]
Einfach den Summanden für [mm]i=0[/mm] addiert und wieder subtrahiert
[mm]=\frac{1}{1-q}-1[/mm]
Und das sind verschiedene Werte ...
>
> LG Scherzkrapferl
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo scherzkrapferl,
zu 1.) kann ich etwas beisteuern:
> Berechnen Sie die Werte der Summen:
>
> 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
>
> 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
>
> Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> Hallo meine Lieben,
>
> wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> selbst nicht weiter komme.
>
> zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> Ergebnis gekommen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
>
> wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> dies überhaupt zeigen muss).
Na, etwas umformen und die Formel für die endliche geometr. Reihe hernehmen:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n}n^{n-k}=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/mm]
Noch eine kleine Indexverschiebung, damit es bei [mm]k=0[/mm] losgeht:
[mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch etwas Bruchrechnung ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo scherzkrapferl,
>
> zu 1.) kann ich etwas beisteuern:
>
>
> > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> >
> > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> >
> > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> >
> > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > Hallo meine Lieben,
> >
> > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > selbst nicht weiter komme.
> >
> > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > Ergebnis gekommen:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> >
> > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > dies überhaupt zeigen muss).
>
> Na, etwas umformen und die Formel für die endliche
> geometr. Reihe hernehmen:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}n^{n-k}=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/mm]
>
> Noch eine kleine Indexverschiebung, damit es bei [mm]k=0[/mm]
> losgeht:
>
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
>
> Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du
> die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch
> etwas Bruchrechnung ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
PERFEKT habs geschafft ;) vielen Dank !
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Fr 14.10.2011 | | Autor: | meely |
> Hallo scherzkrapferl,
>
> zu 1.) kann ich etwas beisteuern:
>
>
> > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> >
> > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> >
> > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> >
> > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > Hallo meine Lieben,
> >
> > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > selbst nicht weiter komme.
> >
> > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > Ergebnis gekommen:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> >
> > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > dies überhaupt zeigen muss).
>
> Na, etwas umformen und die Formel für die endliche
> geometr. Reihe hernehmen:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}n^{n-k}=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/mm]
>
> Noch eine kleine Indexverschiebung, damit es bei [mm]k=0[/mm]
> losgeht:
>
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
>
> Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du
> die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch
> etwas Bruchrechnung ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
hallo! kann mir vielleicht jemand erklären, wie man von [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm] auf das Ergebnis kommt?
Würde mich freuen, wenn ich das auch verstehen würde.
Grüße Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Fr 14.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo scherzkrapferl,
> >
> > zu 1.) kann ich etwas beisteuern:
> >
> >
> > > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> > >
> > > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> > >
> > > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > >
> > > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > > Hallo meine Lieben,
> > >
> > > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > > selbst nicht weiter komme.
> > >
> > > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > > Ergebnis gekommen:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> > >
> > > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > > dies überhaupt zeigen muss).
> >
> > Na, etwas umformen und die Formel für die endliche
> > geometr. Reihe hernehmen:
> >
> >
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}n^{n-k}=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/mm]
> >
> > Noch eine kleine Indexverschiebung, damit es bei [mm]k=0[/mm]
> > losgeht:
> >
> >
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> >
> > Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du
> > die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch
> > etwas Bruchrechnung ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> hallo! kann mir vielleicht jemand erklären, wie man von
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> auf das Ergebnis kommt?
Geom. Summenformel:
[mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] für q [mm] \ne [/mm] 1.
Oben ist q=1/n. Den Fall n=1 sollte man separat betrachten.
FRED
>
> Würde mich freuen, wenn ich das auch verstehen würde.
>
> Grüße Meely
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Fr 14.10.2011 | | Autor: | meely |
> > > Hallo scherzkrapferl,
> > >
> > > zu 1.) kann ich etwas beisteuern:
> > >
> > >
> > > > Berechnen Sie die Werte der Summen:
> > > >
> > > > 1.) [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
> > > >
> > > > 2.) 0.1010101010101010 (2n Binärziffern n mal '10')
> > > >
> > > > Der Ausdruck 2.) ist nicht als Dezimaldarstellung
> > > > (bezüglich der Basis 10) sondern als Binärdarstellung
> > > > (bezüglich der Basis 2) einer rationalen Zahl zu
> > > > interpretieren. Geben Sie den Wert dieser Zahl als Bruch
> > > > (in Dezimalnotation) an. Was passiert für n → ∞ ?
> > > > Hallo meine Lieben,
> > > >
> > > > wieder mal richte ich mich mit einer Frage an euch, da ich
> > > > selbst nicht weiter komme.
> > > >
> > > > zu 1.) nach langem herrumprobieren bin ich zu diesem
> > > > Ergebnis gekommen:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}= \frac{n^n-1}{n-1}[/mm]
> > > >
> > > > wolfram alpha bestätigt mir ebenfalls mein Ergebnis,
> > > > jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich "per hand", also
> > > > nicht durch raten, zu diesem Ergebnis komme (bzw. ob ich
> > > > dies überhaupt zeigen muss).
> > >
> > > Na, etwas umformen und die Formel für die endliche
> > > geometr. Reihe hernehmen:
> > >
> > >
> >
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n}n^{n-k}=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/mm]
> > >
> > > Noch eine kleine Indexverschiebung, damit es bei [mm]k=0[/mm]
> > > losgeht:
> > >
> > >
> >
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> > >
> > > Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du
> > > die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch
> > > etwas Bruchrechnung ...
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
> > >
> >
> > hallo! kann mir vielleicht jemand erklären, wie man von
> >
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> > auf das Ergebnis kommt?
>
> Geom. Summenformel:
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm] für q [mm]\ne[/mm]
> 1.
>
> Oben ist q=1/n. Den Fall n=1 sollte man separat
> betrachten.
Also wäre das dann: [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm] = [mm] n^n ((1/n)^{n}-1)/(n-1)= [/mm] (1-n)/(n-1) ?!
Hier damit ich auf das richtige Ergebnis komme müsste ich doch (-1) mutiplizieren ? - Wenn ja woher kommt das (-1)
>
> FRED
Grüße Meely
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Hallo meely und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
zitiere doch mit etwas mehr Bedacht, sonst ist es seeehr unübersichtlich, und der thread wird unnötig lang.
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> > > >
> > > > Nun klammere noch einmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] aus, dann kannst du
> > > > die o.e Summenformel injizieren, und es bleibt nur noch
> > > > etwas Bruchrechnung ...
> > > >
> > > > Gruß
> > > >
> > > > schachuzipus
> > > >
> > >
> > > hallo! kann mir vielleicht jemand erklären, wie man von
> > >
> >
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> > > auf das Ergebnis kommt?
> >
> > Geom. Summenformel:
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm] für q [mm]\ne[/mm]
> > 1.
> >
> > Oben ist q=1/n. Den Fall n=1 sollte man separat
> > betrachten.
>
> Also wäre das dann:
> [mm]=n^n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{k+1}[/mm]
> = [mm]n^n ((1/n)^{n}-1)/(n-1)=[/mm] (1-n)/(n-1) ?!
Nein! Du hast doch [mm]q^{k+1}[/mm] in der Summe, brauchst aber [mm]q^k[/mm]
Direkt oben im Zitat hatte ich doch gestern schon geschrieben, dass man erstmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] ausklammern sollte.
Das gibt [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1/n\right)^k[/mm]
[mm]=n^{n-1}\cdot{}\frac{\left(1/n\right)^n-1}{(1/n)-1}[/mm]
Vereinfache das noch, bis du beim gewünschten Ergebnis bist ...
Bruchrechnung aus der Mittelstufe ...
>
> Hier damit ich auf das richtige Ergebnis komme müsste ich
> doch (-1) mutiplizieren ? - Wenn ja woher kommt das (-1)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Fr 14.10.2011 | | Autor: | meely |
> zitiere doch mit etwas mehr Bedacht, sonst ist es seeehr
> unübersichtlich, und der thread wird unnötig lang.
>
Wird in Zukunft nicht mehr gemacht. Versprochen :)
> Nein! Du hast doch [mm]q^{k+1}[/mm] in der Summe, brauchst aber [mm]q^k[/mm]
>
> Direkt oben im Zitat hatte ich doch gestern schon
> geschrieben, dass man erstmal [mm]\frac{1}{n}[/mm] ausklammern
> sollte.
>
> Das gibt
> [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(1/n\right)^k[/mm]
>
> [mm]=n^{n-1}\cdot{}\frac{\left(1/n\right)^n-1}{(1/n)-1}[/mm]
>
Danke, hab es geschafft :D
Letzte Frage noch: Du hast oben geschrieben
> [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(1/n\right)^k[/mm]
Aber sollte es nicht [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1/n\right)^k[/mm] lauten ? sonst komme ich doch nicht zu meinem gewünschten Ergebnis ?
Grüße Meely :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Fr 14.10.2011 | | Autor: | meely |
Frage hat sicher erledigt :) hast es gerade ausgebessert.
Danke, danke, danke für eure Hilfe.
Grüße Meely
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Hallo nochmal,
> Danke, hab es geschafft :D
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
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> Letzte Frage noch: Du hast oben geschrieben
>
> >
> [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(1/n\right)^k[/mm]
>
> Aber sollte es nicht
> [mm]\frac{1}{n}\cdot{}n^n}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(1/n\right)^k[/mm]
> lauten ? sonst komme ich doch nicht zu meinem gewünschten
> Ergebnis ?
Ganz recht, da hatte ich mich vertippt, es sogar auch noch bemerkt und schnell editiert in der Hoffnung, dass es keiner merkt, aber du warst schneller 
Die obere Grenze bleibt natürlich [mm]n-1[/mm]. Wieso sollte die sich auch ändern?
>
> Grüße Meely :)
>
Zurück!
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 13.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n}n^{n-k} [/mm] $
oder noch einfacher:
$l:=n-k$
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}n^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{l=0}^{n-1} n^l$
[/mm]
ciao
Stefan
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> Hi,
>
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k}[/mm]
>
> oder noch einfacher:
>
> [mm]l:=n-k[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}n^{n-k} = \sum_{l=0}^{n-1} n^l[/mm]
>
> ciao
> Stefan
haha vielen Dank ! Darauf hätt ich eigentlich auch selbst kommen müssen ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
LG Scherzkrapferl
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