Wert einer Reihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Do 14.11.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich komm gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Folgende Reihe soll auf Konvergenz überprüft und gegebenenfalls der Grenzwert bestimmt werden:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{2}{k(k^2-1)}
[/mm]
Da die Reihe monoton wachsend ist (alle Summanden nichtnegativ), konnte ich die Konvergenz mit dem Nachweis einer oberen Schranke nachweisen:
[mm] \summe_{k=2}^{n} \bruch{2}{k(k^2-1)} \le \summe_{k=2}^{n} \bruch{2}{k(k-1)} [/mm] = [mm] 2*\summe_{k=2}^{n} (\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k}) [/mm] = 2(1+1-(1/n)) = 4 - 2/n < 4
Wie kann ich aber nun den Grenzwert bestimmen? Ich hab bisher noch nicht einmal einen sinnvollen Ansatz gefunden...
Wäre froh, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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Hallo,
möchtest du den Wert der Reihe bestimmen, so könntets du an eine Partialbruchzerlegung denken. Danach kannst du ruhig mal die ersten Glieder aufschreiben. Letztendlich läuft es auf eine Teleskopsumme hinaus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 14.11.2013 | | Autor: | phychem |
Danke. Hat funktioniert.
Hast du (oder jemand anderes der mitliest) vielleicht auch gerade einen Tipp, wie man für
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k-1}{2^{k+1}}
[/mm]
den Grenzwert bestimmt? Auch hier ist mir der Konvergenznachweis gelungen, aber bei der Grenzwertbestimmung komm ich nicht weiter.
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Hi,
ja, zieh die Summe einfach mal ein bisschen auseinander.
[mm] \frac{k-1}{2^{k+1}}=\frac{k+1}{2^{k+1}}-\frac{2}{2^{k+1}}
[/mm]
Nun nutze die geometrische Reihe für den letzten Summanden. Für den ersten Summanden nutze die erweiterte geometrische Reihe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}i*q^i=\frac{i}{(1-i)^2}
[/mm]
Bedenke jeweils, bei welchem Index die Summation beginnt. Du solltest also eine Indexverschiebung vornehmen und eventuelle Summanden wieder abziehen/addieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Do 14.11.2013 | | Autor: | phychem |
Danke. Hat funktioniert.
Ich fand es aber einfacher die Zerlegung
$ [mm] \frac{k-1}{2^{k+1}}=\frac{k}{2^{k+1}}-\frac{1}{2^{k+1}} [/mm] $
zu verwenden. Ausserdem versteh ich deine Formel für die "erweiterte geometrische Reihe" nicht ganz...
Aber auf wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
hab ich unter "Verwandte Summenformel" eine Darstellung gefunden, mit deren Hilfe ich einen Grenzwert berechnen konnte.
Zusammen hab ich dann 1/2 bekommen, was gemäss mathematica stimmt.
Danke für die Hilfe.
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Ich hoffe, dass die Ausrede funktioniert 