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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Wert einer Reihe
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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Do 16.06.2016
Autor: rollroll

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] in ihrem Konvergenzbereich gegen -log(1-z) konvergiert.

Hallo,

wie kann ich denn ansetzen, um zu zeigen, dass die Reihe den Wert annimmt?
Ich meine der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1.

        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Do 16.06.2016
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n}[/mm]
> in ihrem Konvergenzbereich gegen -log(1-z) konvergiert.
>  Hallo,
>  
> wie kann ich denn ansetzen, um zu zeigen, dass die Reihe
> den Wert annimmt?
>  Ich meine der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm]\le[/mm] 1, z
> ungleich 1.


Setze  $ f(z):= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] $  und differenziere....


FRED

Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:29 Do 16.06.2016
Autor: rollroll

[mm] f'(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^n= \bruch{1}{1-z} [/mm]

Beide Seiten integrieren und fertig, oder?

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Sa 18.06.2016
Autor: rollroll

Hallo, könnte Bitte noch jemand sagen ob die angegebene Vorgehensweise korrekt ist?

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 So 19.06.2016
Autor: HJKweseleit

Ja, richtig. Eine Bemerkung dazu, warum du die unendliche Reihe gliedweise differenzieren darfst, wäre vielleicht noch angebracht.

Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mi 29.06.2016
Autor: rollroll

Noch mal eine Frage hierzu: Ich habe ja nun die Konvergenz gezeigt und den Wert der Reihe berechnet. Muss man hier dann eigentlich auch noch den Rand von f' extra betrachten?

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Mi 29.06.2016
Autor: HJKweseleit


> Noch mal eine Frage hierzu: Ich habe ja nun die Konvergenz
> gezeigt und den Wert der Reihe berechnet. Muss man hier
> dann eigentlich auch noch den Rand von f' extra betrachten?

Im Prinzip nicht. Tatsächlich konvergiert aber die Summe für alle |z| = 1 außer für z=1 (also z.B. für z = -1 oder [mm] z=e^{i*\varphi}, [/mm] falls [mm] \varphi \ne k*2*\pi [/mm] ist mit k [mm] \in \IZ). [/mm]

Anschaulich kannst du dir das so vorstellen:


z=1 "ist" ein Pfeil, der im KS nach rechts zeigt und die Länge 1 hat. Daran schließt sich der nächste Summand 1/2 an, dann 1/3 usw., die alle den Ausgangspfeil nach rechts verlängern. Da die harmonische Reihe nicht konvergiert, hast du Divergenz.

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] z\ne [/mm] 1: Nun ist der erste Pfeil (ein bisschen oder viel) zur x-Achse geneigt. Der nächste Pfeil von [mm] z^2 [/mm] ist nochmals um diesen Winkel weitergedreht und schließt sich an, der nächste wieder gedreht usw. Fehlte der Nenner 1/n, hätten alle die Länge 1 und die Pfeilspitzen wurden sich auf einem mehr oder weniger großen Kreis immer weiterdrehen (oberer "Kreis" im Bild). Durch den Nenner 1/n drehen sich diese Pfeile nun aber irgendwo spiralig in den Kreis ein und konvergieren dort auf irgendeinem Punkt(untere Spiralen zu verschiedenen Winkeln).

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:18 Do 30.06.2016
Autor: rollroll

Wäre es auch möglich den Wert der Reihe mit dem abelschen Grenzwertsatz zu bestimmen? Und falls ja, wie genau würde das hier gehen?

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 02.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Mi 22.06.2016
Autor: rollroll

Der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1.
Wie geht man denn vor um zu zeigen, dass die Reihe für |z|=1 konvergiert? (z ungleich 1 klar wg der harmonischen Reihe)

Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Mi 22.06.2016
Autor: leduart

Hallo
für |z|=1 hast du die harmonische Reihe, die nicht konvergiert.
Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Mi 22.06.2016
Autor: rollroll

Nein, das stimmt nicht. Die habe ich nur für z=1, nicht aber für |z|=1 (Z [mm] \in \IC) [/mm]
Ich weiß ja dass die Reihe für |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1 konvergiert. Wüste aber halt gerne wie man den Fall |z|=1 zeigt.

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mi 22.06.2016
Autor: andyv

Hallo,

benutze abelsche Summation für [mm] $\sum_{k=m}^n \frac{1}{k}\cdot z^k$ [/mm] und [mm] $|\sum_{k=1}^n z^k|\le \frac{2}{|1-z|}$ [/mm] für alle n und [mm] $|z|\le [/mm] 1, [mm] z\neq [/mm] 1$.
Dann folgt die Behauptung aus dem Cauchy-Kriterium.

Gruß
Andy

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Do 30.06.2016
Autor: HJKweseleit

Eine graphische Erklärung findest du in meiner 2. Antwort.

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