Wert durch 5 Teilbar? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:51 Di 30.10.2007 | | Autor: | Yusuf |
| Aufgabe | [mm] 6^{n} [/mm] - 5n + 4 ist durch 5 teilbar
n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Bruder studiert gerade Mathematik (seit 1 oder 2 Wochen) und hat erstmal ein Blatt mit "einfachen" Aufgaben bekommen.
Darunter eben die Aufgabe, die ich oben gestellt hab.
Es geht um vollständige Induktion oder sowas.
Er meinte, er hätte sowas schonmal in der Schule gemacht, weiß aber nicht mehr wie, aber angeblich war es total einfach. Man muss eben nur drauf kommen.
Ich hab mir schon einiges Überlegt aber ich bleib immer irgendwo stecken.
Also folgende Überlegungen hatte ich schon:
1) [mm] 6^{n} [/mm] ergibt immer eine Zahl, die mit der Ziffer 6 endet. 5n ergibt immer eine Zahl, die durch 5 Teilbar ist, deswegen ist der Teil erstmal nicht so relevant.
+4 Ergänzt genau den Fehlenden Betrag zu 6, um zu 10 zu kommen. Und wenn durch -5n eben als 1 die letzte Ziffer kommt, wird's halt 5.
So das Problem dabei ist, ich weiß nicht, wie ich beweisen könnte, dass [mm] 6^{n} [/mm] immer mit 6 endet. Dann wär's leicht zu beweisen, aber ich glaub auch der Weg ist nicht der, den man normalerweise gehen würde.
2) [mm] 6^{n} [/mm] -5n + 4 wollte ich umstellen:
[mm] 6^{n} [/mm] + 4 = -5n
Damit wäre alles bewiesen.
Da -5n durch 5 teilbar sein muss, da n [mm] \in \IN [/mm] gilt, muss es auch folglich [mm] 6^{n} [/mm] + 4 sein. Aber mein Bruder hat mich dann darauf hingewiesen, dass es keine Gleichung ist, die man einfach so umstellen kann, als ob da ein = 0 stehen würde, sondern es wird ein Wert erwartet, also heißt es eigentlich [mm] 6^{n} [/mm] - 5n + 4 = x
und wenn ichs umstellen würde, würde [mm] 6^{n} [/mm] + 4 = x - 5n herauskommen und da wäre wieder alles offen :p
Also auch ein Fehlversuch ...
3) [mm] \bruch{6^{n} - 5n + 4}{5} [/mm] = x
Beziehungsweise:
[mm] 6^{n} [/mm] - 5n + 4 = 5x
und x [mm] \in \IN [/mm]
Ist das, was mir als erstes in den Sinn gekommen ist, hat mir auch nicht wirklich weitergeholfen, das würde zwar sicherstellen, dass der Wert durch 5 Teilbar ist, aber ich hätte das genausogut mit dem Wert 2323,342 anstatt 5 machen können, aber es stimmt trotzdem nicht, nur weil ich es hinschreibe.
Das waren meine Versuche bisher ...
Wäre dankbar, wenn mich jemand aufklären könnte, wie das jetzt nun geht ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yusuf!
Du hast das Verfahren für die Lösung dieser Aufgabe bereits selber genannt: ![[]](/images/popup.gif) vollständige Induktion. Gerade zu Beginn des Erstsemesters wird man mit Aufgaben zu diesem Thema "zugeschüttet".
Kennst Du denn bereits diese Nachweis-Methode?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Di 30.10.2007 | | Autor: | Yusuf |
Naja, dass man es für n und n+1 beweisen muss, und es dann für alle n gilt, hab ich soweit verstanden, aber zB das Summenzeichen, was die ganze Zeit vorkommt [mm] (\summe_{i=1}^{n}) [/mm] usw hab ich vorher noch nie benutzt und keine Ahnung :D Wikipedia is ja nicht unbedingt 10.-Klässler-freundlich, wenn's um naturwissenschaftliche Artikel geht
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Nutze dabei die Induktionsvorraussetzung und zwei Tipps:
