Wert Exponentialreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)!} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebes Forum, bin neu hier :)
Siehe oben gegebene Aufgabe. Ich kann die einfach so nicht auflösen. Wir hatten eben Exponentialfunktionen in der Vorlesung, deswegen nehme ich schwer an, dass es in diesem Stil hier weitergeht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)}*\bruch{1}{n!}
[/mm]
Denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{n!} [/mm] ist doch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] und das ist laut Vorlesung = e (eulersche Zahl)
Wenn ich aber e herausziehe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)}*\bruch{1}{n!}= e*\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)} [/mm] krieg ich hier hinten eine mühsame alternierende Reihe, die mir irgendwie nicht konvergiert:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k * k}{(k+1)} [/mm] = [mm] 0-\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}-\bruch{3}{4}+...
[/mm]
Da wollte ich doch fragen, ob ihr mir ev. einen Tipp habt oder ob ihr einen Fehler seht bei meiner Berechnung?
Schönen Abend soweit
Pablovschby
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also du weißt: [mm] e^x=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}. [/mm] Leite nun beide Seiten mal nach x ab. Dann hast du [mm] e^x=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{k*x^{k-1}}{k!}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)*x^{k+1}}{(k+1)!}. [/mm] Multipliziere in der rechten Reihe mal die Klammer im Zähler auf und mache dann 2 Reihen draus. Setze dann x=-1 ein.
Das mit deinem Ansatz klappt nicht, weil schon der 1. Schritt nicht so machbar ist!
|
|
|
| |
|
Danke erstmal, cool
Aalso:
[mm] e^x=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] >> ableiten
[mm] e^x=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{k!}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k*x^{k-1}}{k!}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(k+1)*x^k}{(k+1)!}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*x^k}{(k+1)!}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{(k+1)!}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*x^k}{(k+1)!}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{(k+1)*k!}
[/mm]
>> (-1) einsetzen
[mm] e^{-1}=\underbrace{\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*(-1)^k}{(k+1)!}}_{gesuchte Reihe}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(k+1)*k!} [/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*(-1)^k}{(k+1)!} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(k+1)*k!}
[/mm]
Jetzt habe ich aber noch so einige Probleme mit
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(k+1)*k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k!}*\bruch{1}{k+1}= \bruch{1}{e}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm]
Denn [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] konvergiert nicht...
...habe ich wieder einen Fehler gemacht irgendwo?
Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bis hierhin stimmt alles:
... [mm] \gdw \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*(-1)^k}{(k+1)!} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(k+1)*k!}.
[/mm]
Danach wird es falsch, da du nicht einfach irgendein Term, in dem k vorkommt, rausziehen darfst!
Stattdessen schreibe (k+1)*k! als (k+1)!.
Dann hast du [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{k*(-1)^k}{(k+1)!}=e^{-1}- \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(k+1)!}=e^{-1}+ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}. [/mm] Nun ist die rechte Reihe schon fast wieder [mm] e^{-1}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k!}, [/mm] nur, dass der 1. Summand fehlt.
|
|
|
| |
|
So macht Mathe Spass :)
Es ist
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(k)!} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1-e}{e}
[/mm]
Es folgt, dass
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k*(-1)^k}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}+\bruch{1-e}{e}=\bruch{2-e}{e}
[/mm]
Und das ist genau, was Mathematica gesagt hat :)
Danke Teufel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Di 09.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Genau so! :)
Kein Problem und gute Nacht!
|
|
|
|
