Wenn sich Kugeln schneiden < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Sa 30.09.2006 | | Autor: | slain |
Wenn sich Kugeln schneiden, ergeben sich ein Schnittkreis. Um diesen teilweise darzustellen, benötigt man die Ebene, in der sich der Kreis befindet und den Mittelpunkt dieses Kreises. "Teilweise" deshalb, weil ein Kreis im drei-dimensionalen Raum cosinus und sinus benötigen würde und darum verlangt man im Prinzip nur die Kugel, in der der Schnittkreis eingebetettet ist.
All diese Verfahren die zu diesen Ergebnissen führen sind recht rechenaufwendig und ich frage mich, ob es vielleicht Formeln oder Möglichkeiten gibt, die das ganze vereinfachen sodass man zb den Mittelpunkt des Schnittkreises sofort aus den beiden Radien und Mittelpunkten der gegebenen Kugeln ermittelt.
Ich hatte mir überlegt, dass man zuerst mit Längen (Radien und Distanz von Mittelpunkt 1 zu Mittelpunkt 2) arbeitet, um daraus ein Verhältnis auszurechnen (Dezimalzahl) welches dann als Parameter in eine Geradengleichung eingesetzt wird, um auf den Mittelpunkt des Schnittkreises zu kommen. Nur bin ich mir da recht unsicher ...
Wäre soetwas vielleicht irgendwie möglich, gibt es da schon ähnliches oder sollte man lieber die bereits bekannten längeren Wege nutzen?
Vielleicht habt ihr ja da Ideen oder links etc
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewf/7,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Sa 30.09.2006 | | Autor: | riwe |
hallo:
sei kugel [mm] K_1: (\vec{x}-\vec{m})^{2}=r^{2}_1
[/mm]
und [mm] K_2:(\vec{x}-\vec{n})^{2}=r^{2}_2
[/mm]
dann bildest du einfach die differenz und hast damit die schnittebene E der beiden kugeln.
nun bestimmst du den mittelpunkt M des schnittkreises, indem du mit der auf E senkrecht stehenden geraden durch [mm] M_1 [/mm] (und [mm] M_2) [/mm] schneidest:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{m_x\\m_y\\m_z}+t\vektor{m_x-n_x\\m_y-n_y\\m_z-n_z}.
[/mm]
und zu guter letzt bestimmst du den radius des schnittkreises mit hilfe von pythagoras aus dem bekannten [mm] r_1 [/mm] (oder [mm] r_2) [/mm] und [mm]d(M_1M)[/mm].
hört sich viel aufwendiger an, als es ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Sa 30.09.2006 | | Autor: | slain |
Nunja, das stimmt natürlich. Aber ich habe heute Vormittag eine Formel "herrausgefunden", die den Mittelpunkt des Schnittkreises sofort widergibt und somit den bisherigen bekannten Rechenweg ungefähr halbiert, da man
1. nicht mehr die Koordinatenformen aufstellen und subtrahieren muss
2. keine Gerade mit einer Ebene schneiden lassen muss
Ich hoffe, dass die Formel korrekt ist ... aber bisher habe ich keine Misserfolge gehabt.
![[]](/images/popup.gif) Bild der Formel
[mm] M_3 [/mm] = Mittelpunkt des Schnittkreises
[mm] M_2 [/mm] und [mm] M_1 [/mm] sind Mittelpunkte der vorgegebenen Kugeln
[mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] sind die Radien der vorgegebenen Kugeln
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Sa 30.09.2006 | | Autor: | riwe |
naja, wenn du dir gern irgendwelchen formelmüll merken willst.
auf den 1. blick würde ich sagen, das ist in etwa dasselbe, einen 2. blick erspare ich mir.
und formal ist sie falsch.
da müßten statt [mm] M_3 [/mm] und [mm] M_1 [/mm] die entsprechenden ortsvektoren stehen.
aber viel spaß und "erfolg".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Sa 30.09.2006 | | Autor: | slain |
ja nagut, 2 Vektorpfeile fehlen. Aber wer ein bisschen Ahnung hat, der weiß sofort was gemeint ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 30.09.2006 | | Autor: | riwe |
hat halt net jeder so viel ahnung wie du
auch ein ahnungsloser oder - voller
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mo 02.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo slain
Was ist jetzt noch die Frage? du hast doch ne richtige Formel gefunden?
Gruss leduart
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![[]](http://mitglied.lycos.de/bonzeslain/endformel.JPG){kind=small}
Bild der Formel