Wendepunkte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Do 03.05.2007 | | Autor: | Swwetheart |
Hallo, meine Frage ist eigentlich mehr theoretisch und zwar: wenn ich die Wendepunkte bei der Kurvendiskussion ausrechnen möchte, dann muss ich dies ja mit f´´ (x) machen und um zu schauen ob welche vorhanden sind gebe ich die Lösungen in f´´´(x) ein (Bedingungsprüfung). Ist der Wert ungleich Null, dann liegt ja ein WP vor. Nun meine Frage: Was ist, wenn der Wert 0 ist den ich rausbekommen habe, das ist ja nicht ungleich sondern gleich null. Habe ich mich verrechnet? Was liegt dann vor? Kann das möglich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 03.05.2007 | | Autor: | Tea |
Hallo!
Also... Ich versuche erstmal zusammenzufassen, wie ich dich verstanden habe.
(Schönes Thema übrigens mache ich auch grade ^^)
Du suchst die Wendepunkte einer Funktion und setzt dazu die 2. Ableitung $ =0 $ um Nullstellen zu erhalten, dann setzt du in die dritte Ableitung ein und willst nun wissen was passiert, fall diese $ 0 $ ist.
Ich gebe mal in Kurzfassung wieder, wie ich das verstanden habe.
Eigentlich ist das Verfahren so wie das zum Extrema-Finden.
Erstmal von $f''$ die Nullstellen bestimmen, wie du schon gemacht hast, also =0 setzen. (Dies ist zugleich die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.)
Dann (auch wieder richtig  ) die Nullstellen, die du grade ermittelt hast in $f'''$ einsetzen.
Falls $f'''$ ungleich 0 ist (hinreichende Bedingung), dann ist dort ein Wendepunkt.
Ist $f'''$ =0 geht es weiter. Du prüfst (auch hier wieder analog zu den Extrema), ob $f''$ an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat. Falls VZW, dann hast du mit diesem Kriterium noch einen Wendepunkt gefunden.
Falls auch dieses, also VZW, dir bei $f''=0$ keinen WP liefert, kannst du sicher sein, dass sich an deiner betrachteten Stelle auch kein Wendepunkt befindet.
Also knapp :
Wendepunkte erhält man indem man $f''$ mit Null gleichsetzt, allerdings sind weiter Untersuchungen anzustellen.
Ist die dritte Ableitung ungleich Null, dann hast du einen WP bestimmt.
Ist $f'''$ allerdings gleich 0, dann man nicht direkt sagen dass es keine Wendestelle an dieser Stelle ist.
Man kann das VZW-Kriterium anwenden und falls dieses erfüllt ist handelt es sich um eine Wendestelle.
Hilft das VZW-Kriterium aber nicht weiter (also das VZ der 2. Ableitung ist hinter der Stelle, an der die dritte Ableitung =0 ist, gleich dem vor eben dieser Stelle) kann man meistens (und ich denke auch in deinem Fall) davon ausgehen, dass es keine Wendestelle ist.
Interessant ist auch noch, dass falls
$f'(x)=0$ und $f'(x)=0$ als Sattelpunkt bezeichnet werden kann.
Naja, ich hoffe ich habe nicht mehr verwirrt als geholfen.
Die Sache ist nur die, dass ein Wendepunkt nur bei [mm] $f'''\not= [/mm] =0$ erwiesen ist,
bei deiner Frage bin ich so pauschal dann doch überfragt merke ich grade. Nur das VZW-Kriterium könnte helfen, aber halt auch nur bei der 2. Abl.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 03.05.2007 | | Autor: | Tea |
Ich glaube die Frage ist noch nicht wirklich beantwortet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Tea
Wenn f''(x1)=0 und f'''(x1)=0 ist wahr, dass man noch nix weiss!
Dann gibt es 2 Möglichkeiten:
die erste wurde dir schon genannt, sieh nach ob bei x1 f'' sein Vorzeichen wechselt, dann ist es ein Wendepunkt, sonst sicher nicht! Grund: f'' gibt die Richtung der Krümmung an, weil es die Änderung der Steigung (f') angibt. Wenn die Krümmung das Vorzeichen nicht ändert, bleibt sie in dergleichen Art gekrümmt, also "wendet" sie sich nicht. und umgekehrt! (Wendepunkt heisst ja die Krümmung wendet sich, (mit dem Fahrrad oder Auto muss man an der Stelle Lenker in die andere Richtung wenden.)
WENN sich das Vorzeichen von f'' ändert, dann steigt oder fällt f''' ist also ungleich 0. wenn f''' aber 0 ist, weiss man nicht ob f'' ne waagerechte Tangente oder nen Max oder Min hat.
2. Methode: man differenziert weiter: Wenn die erste von 0 verschiedene Ableitung eine grade Ableitung ist (also f 4 mal, 6 mal usw abgeleitet...) dann liegt ein Max oder Min vor KEIN Wendepkt.
Wenn dagegen die erste Ableitung, die nicht 0 ist ungerade ist (also die 3t3, 5te, 7te.., dann hat man nen Wendepunkt!
Am schnellsten sieht man das bei den fkt [mm] x^4, x^5, x^6 [/mm] usw am Nullpkt.
Gruss leduart
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. Genau das wollte ich wissen. Dann wende ich mal das VZW-Kriterium an.
