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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Do 22.04.2010 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Wellenfunktion:
[mm] \Psi(x,t)=\frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{i[kx-\omega (k)t]}}
[/mm]
Berechnen Sie folgenden Ausdruck für t=0.
[mm] <\hat{x}>= \integral_{\IR}{dx x|\Psi(x,0)|^{2}} [/mm] |
Hallo. Also ich komme hier leider gleich zum Anfang nicht weiter.
[mm] <\hat{x}>= \integral_{\IR}{dx x|\Psi(x,0)|^{2}}= \integral_{\IR}{dx\Psi^{\*}(x,0)x\Psi(x,0)}=\integral_{\IR}{dx}\frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{-i[kx-\omega (k)t]}}x\frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{i[kx-\omega (k)t]}}
[/mm]
So und das war es auch schon. Ist das so erstmal der richtige Ansatz oder geht es anders besser?
Und wenn es so richtig ist, wie bekomm ich es denn hin, dass da nur ein Integral steht?
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Hallo mb588,
[mm] $\Psi(x,t) =\frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{i[kx-\omega (k)t]}}$
[/mm]
Erstmal $t = 0$ einsetzen:
[mm] $\Psi(x,0) =\frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{ikx}}$
[/mm]
Dann das Konjugieren nicht vergessen:
[mm] $<\hat{x}> [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{dx x \frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \chi (k)e^{ikx}}\cdot \frac{1}{2\pi}\integral_{\IR}{dk \overline{\chi(k)e^{ikx}}} } [/mm] = [mm] \frac{1}{4\pi^2}\integral_{\IR}{dx \integral_{\IR}{dk}\integral_{\IR}{ dk' \overline{ \chi(k)}e^{-ikx} x e^{ik'x} \chi (k') }}$
[/mm]
Gruß mathfunnel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 23.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Wie mathfunnel schon schrieb, hast du vergessen, $t=0$ einzusetzen.
Zum Weiterrechnen vertauschst du die Integrationen und berücksichtigst, dass [mm] $e^{ikx}$ [/mm] bis auf einen Faktor die Fouriertransformierte der [mm] $\delta$-Distribution [/mm] ist:
[mm] \integral_\IR e^{ikx} dx = 2\pi \delta(k) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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