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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Welche Zahl ist größer
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Welche Zahl ist größer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Sa 14.05.2011
Autor: schnuubi

Aufgabe
Welche Zahl ist größer, 1000000000^1000000000 oder 1000000001^999999999?

Ich habe bisher folgende Ungleichung aufgestellt: [mm] n^n [/mm] > [mm] (n+1)^{n-1} [/mm]
Und wollte sie dann mit vollständiger Induktion berechnen.
IA...
IV....war noch klar
IS dann n--> n+1

[mm] (n+1)^{n+1} [/mm] steht ja dann auf der linken Seite. Wie komm ich denn von [mm] n^n [/mm] auf das?  Der Exponent ist mir noch klar...






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Welche Zahl ist größer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Sa 14.05.2011
Autor: Fulla

Hallo schnuubi,

> Welche Zahl ist größer, 1000000000^1000000000 oder
> 1000000001^999999999?
>  Ich habe bisher folgende Ungleichung aufgestellt: [mm]n^n[/mm] >

> [mm](n+1)^{n-1}[/mm]
>  Und wollte sie dann mit vollständiger Induktion
> berechnen.
>  IA...
>  IV....war noch klar
>  IS dann n--> n+1

>  
> [mm](n+1)^{n+1}[/mm] steht ja dann auf der linken Seite. Wie komm
> ich denn von [mm]n^n[/mm] auf das?  Der Exponent ist mir noch
> klar...

Die Induktionsvoraussetzung besagt, dass die Aussage [mm]n^n>(n+1)^{n-1}[/mm] für ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] schon bewiesen ist.

Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass die Aussage dann auch für das nächste n - also n+1 - gilt: [mm](n+1)^{n+1}>((n+1)-1)^{(n+1)-1}=n^n[/mm] (du setzt also für jedes n in der IV n+1 ein).
Dazu solltest du die Aussage aus der IV benutzen.

Ich fange mal an:
[mm](n+1)^{n+1}=(n+1)^n\cdot(n+1)>n^n\cdot(n+1)\stackrel{IV}{>}(n+1)^{n-1}\cdot(n+1)=\ldots[/mm]


Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
Welche Zahl ist größer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 14.05.2011
Autor: schnuubi

Aufgabe
Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass die Aussage dann auch für das nächste n - also n+1 - gilt: $ [mm] (n+1)^{n+1}>((n+1)-1)^{(n+1)-1}=n^n [/mm] $ (du setzt also für jedes n in der IV n+1 ein).

Das stimmt nicht ganz was du hast...(glaube ich). Auf der rechten Seite von der Ungleichung also vorm "=" steht bei dir in der Klammer ((n+1)-1) es muss aber ((n+1)+1) heißen...

Ja, so habe ich das auch gemacht, aber bei mir kommt nicht das "richtige" raus.

Das Ergebnis wäre ja eigentlich: [mm] (n+1)^{n+1}>(n+2)^n [/mm]
Wie krieg ich denn die 2 in die hintere Klammer?

Und bei mir kommt raus: linke seite genauso > [mm] (n+1)^n [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Welche Zahl ist größer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Sa 14.05.2011
Autor: Gonozal_IX

Hallo schnuubi,

die Abschätzungen funktionieren so nicht, sie sind zu grob.

Ohne Ausnutzen von [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ wirst du es, denke ich, auch nicht beweisen können.
Zumindest seh ich gerade keinen praktikablen Weg.

MFG,
Gono.

Bezug
        
Bezug
Welche Zahl ist größer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Sa 14.05.2011
Autor: Gonozal_IX

Hallo Schnubbi,

du brauchst hier keine vollst. Induktion, es geht mit einer kleinen Umformung viel eleganter.

[mm] $n^n [/mm] > [mm] (n+1)^{n-1}$ [/mm]

[mm] $\gdw\; (n+1)*n^n [/mm] > [mm] (n+1)^n$ [/mm]

[mm] $\gdw\; [/mm] (n+1) > [mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm]

Nun steht rechts eine monoton wachsende Folge, die beschränkt ist durch etwas kleineres als 3 (zeigen, oder man hat es bereits gezeigt, wenn man zeigt, dass [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$) und links eine monoton wachsende unbeschränkte Folge.

Somit gilt die Ungleichung mindestens für n=3
Für n=2 prüft man sie schnell selbst nach, für n=1 gilt sie offensichtlich nicht. :-)

Gruß,
Gono.

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