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Welche Peano-Axiome gelten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Mo 25.04.2011
Autor: anetteS

Aufgabe
Welche der Peano-Axiome gelten für die folgenden Paare (N; s) einer Menge
N und einer Abbildung s : N -> N:
N =  [mm] \IN \cup [/mm] { [mm] \IN [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
s(x)=x+1

Hallo!
Ich sitze nun schon seit Stunden an dieser Aufgabe, die doch eigentlich nicht so schwer sein kann und trotzdem komme ich nicht drauf.
Also ich habe mir zuerst die Mengen N und s(N) aufgeschrieben:
N={1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5...} (wir hatten die natürlichen Zahlen in der Vl ohne Null definiert)
s(N)={2; 2,5; 3; 3,5;...}

Die Peano-Axiome hatten wir in der Vl so definiert:
P1) 1 [mm] \not\in s(\IN) [/mm]
P2) s ist injektiv
P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm] \subset \IN, [/mm] s(A) [mm] \subset [/mm] A, 1 in A. Dann gilt [mm] A=\IN [/mm]

Zu P1) Dass 1 nicht in s(N) ist sieht man ja schon, wenn man s(N) aufschreibt.

Zu P2) Hier kommen bei mir schon Probleme. Ich muss doch zeigen: Für alle x1,x2 aus N gilt: aus s(x1)=s(x2) folgt x1=x2.
s(x1)=s(x2)--> x1+1=x2+1-->x1=x2
Stimmt das? Irgendwie kommt mir das komisch vor...

Zu P3) Hier weiß ich gar nicht, was ich zeigen muss.
Was ist denn A bei mir? Ist das N (also die gegebene Menge)?
Wenn das so ist, dann gilt ja bereits nicht N in [mm] \IN, [/mm] oder? Dann gilt das Induktionsprinzip doch sowieso nicht...


Vielen Dank für Eure Hilfe,
Anette.


        
Bezug
Welche Peano-Axiome gelten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Di 26.04.2011
Autor: meili

Hallo Anette,

> Welche der Peano-Axiome gelten für die folgenden Paare (N;
> s) einer Menge
>  N und einer Abbildung s : N -> N:

>  N =  [mm]\IN \cup \{ \IN + \bruch{1}{2} \} [/mm]
>  s(x)=x+1
>  Hallo!
>  Ich sitze nun schon seit Stunden an dieser Aufgabe, die
> doch eigentlich nicht so schwer sein kann und trotzdem
> komme ich nicht drauf.
>  Also ich habe mir zuerst die Mengen N und s(N)
> aufgeschrieben:
>  N={1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5...} (wir hatten die natürlichen
> Zahlen in der Vl ohne Null definiert)
>  s(N)={2; 2,5; 3; 3,5;...}
>  
> Die Peano-Axiome hatten wir in der Vl so definiert:
>  P1) 1 [mm]\not\in s(\IN)[/mm]
>  P2) s ist injektiv
>  P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm]\subset \IN,[/mm] s(A) [mm]\subset[/mm] A,
> 1 in A. Dann gilt [mm]A=\IN[/mm]
>  
> Zu P1) Dass 1 nicht in s(N) ist sieht man ja schon, wenn
> man s(N) aufschreibt.

[ok]

>  
> Zu P2) Hier kommen bei mir schon Probleme. Ich muss doch
> zeigen: Für alle x1,x2 aus N gilt: aus s(x1)=s(x2) folgt
> x1=x2.
>  s(x1)=s(x2)--> x1+1=x2+1-->x1=x2

> Stimmt das? Irgendwie kommt mir das komisch vor...

[ok]

>  
> Zu P3) Hier weiß ich gar nicht, was ich zeigen muss.
> Was ist denn A bei mir? Ist das N (also die gegebene
> Menge)?
> Wenn das so ist, dann gilt ja bereits nicht N in [mm]\IN,[/mm] oder?
> Dann gilt das Induktionsprinzip doch sowieso nicht...

Muss P3 für (N;s) nicht
P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm]\subset N,[/mm] s(A) [mm]\subset[/mm] A,  1 in A. Dann gilt [mm]A=N[/mm]
sein?
Ja, dann gilt es nicht, wenn Du A = [mm] $\IN$ [/mm] wählst.

>  
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
>  Anette.
>  

Gruß
meili

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