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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 28.03.2012 | | Autor: | cadilack |
| Aufgabe | Sei E eine elliptische Kurve über [mm] F_p. [/mm] Ferner seien m [mm] \in [/mm] Z mit p [mm] \nmid [/mm] m und P,Q [mm] \in [/mm] E[m]
gegeben. Dann wird die Weil-Paarung definiert als Abbildung
em : E[m] x E[m] --> [mm] \mu_m,
[/mm]
mit
[mm] e_m(P,Q) [/mm] =
[mm] R_P(Q [/mm] + [mm] X)R_Q(-X)/
[/mm]
[mm] R_P(X)R_Q(P [/mm] - X)
,
wobei X aus [mm] E(F_p) [/mm] mit X ungleich unendlich ferner Punkt, P,-Q, P- Q und [mm] R_P [/mm] und [mm] R_Q [/mm] über E zwei rationale
Funktionen sind,so dass gilt:
[mm] div(R_P) [/mm] = m[P] - m[O]
[mm] div(R_Q) [/mm] = m[Q] - m[O]. |
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich zeigen kann, dass die Weil-paarung wohldefiniert ist??
Ich muss doch zeigen, dass der Bruch in der Menge der m-ten Einheitswurzel liegt oder??
Ich habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll. Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ihr dürft nicht zufällig schon die Eigenschaften der Weil-Paarung nutzen, oder? Also dass sie bilinear ist usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Do 29.03.2012 | | Autor: | cadilack |
Die Eigenschaften kommen erst danach, aber vielleicht hilft mir der Ansatz mit der Bilinearität. Weiß aber noch nicht genau, wie ich die benutzen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Do 29.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei E eine elliptische Kurve über [mm]F_p.[/mm] Ferner seien m [mm]\in[/mm]
> Z mit p [mm]\nmid[/mm] m und P,Q [mm]\in[/mm] E[m]
> gegeben. Dann wird die Weil-Paarung definiert als Abbildung
> em : E[m] x E[m] --> [mm]\mu_m,[/mm]
> mit
> [mm]e_m(P,Q)[/mm] =
> [mm]R_P(Q[/mm] + [mm]X)R_Q(-X)/[/mm]
> [mm]R_P(X)R_Q(P[/mm] - X)
> ,
> wobei X aus [mm]E(F_p)[/mm] mit X ungleich unendlich ferner Punkt, P,-Q, P- Q und [mm]R_P[/mm] und [mm]R_Q[/mm] über E zwei rationale
> Funktionen sind,so dass gilt:
> [mm]div(R_P)[/mm] = m[P] - m[O]
> [mm]div(R_Q)[/mm] = m[Q] - m[O].
> Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich zeigen kann, dass die Weil-paarung wohldefiniert ist??
> Ich muss doch zeigen, dass der Bruch in der Menge der m-ten Einheitswurzel liegt oder??
Ja, das musst du zeigen, und dass der Funktionswert unabhaengig von den Wahlen von [mm] $R_P$, $R_Q$ [/mm] und $X$ ist.
Das mit der Unabhaengigkeit von [mm] $R_P$ [/mm] und [mm] $R_Q$ [/mm] sieht man sofort. Diese sind ja bis auf Multiplikation mit Skalaren [mm] $\neq [/mm] 0$ eindeutig, und so wie der Bruch gewaehlt ist fallen solche Faktoren sofort heraus.
Die anderen beiden sind mit dieser Definition der Weil-Paarung nicht ganz so einfach (man verwendet oft eine andere Definition), scheint's mir. Ich hab grad nicht genuegend Zeit zum drueber nachdenken, vielleicht meld ich mich spaeter nochmal...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Fr 30.03.2012 | | Autor: | cadilack |
Ja, ich weiß, dass man normalerweise eine andere Definition für die Weil-Paarung verwendet. Und zwar gibt es die Möglichkeit die Weil-Paarung über Divisoren zu definieren. Ich habe diese Definition wählt, da mit dieser Darstellung der Miller-Algorithmus angewandt werden kann und damit die Weil-Paarung berechnet werden.
Was ich bisher in einigen Büchern gelesen habe, ist, dass von der Definition der Weil-Paarung mit rationales Funktionen von Divisoren auf meine gewählte Definition geschlossen wird. Doch leider habe ich nicht gefunden, warum und wieso diese Definition dann wohldefiniert ist.
Wäre also sehr gut, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte. Habe irgendwie gar keinen Ansatz wie ich an diesen Nachweis rangehen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 11.04.2012 | | Autor: | cadilack |
Hallo!
Also ich habe es bis jetzt geschafft zu zeigen, dass das Weil - Pairing in der Bildmenge liegt, dass es unabhängig ist von der Wahl der rationalen Funktionen und warum das X die angegebenen Werte nicht annehmen kann. Das einzige, was jetzt noch fehlt, ist die Unabhängigkeit von X.
Ich wäre für jeden Tipp dankbar, der mir einen Ansatz dafür gibt.
Würde mich freuen, schon bald eine Antwort zu bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Do 12.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ich habe es bis jetzt geschafft zu zeigen, dass das
> Weil - Pairing in der Bildmenge liegt, dass es unabhängig
> ist von der Wahl der rationalen Funktionen und warum das X
> die angegebenen Werte nicht annehmen kann. Das einzige, was
> jetzt noch fehlt, ist die Unabhängigkeit von X.
> Ich wäre für jeden Tipp dankbar, der mir einen Ansatz
> dafür gibt.
Du koenntest es wie folgt probieren: seien $P$, $Q$, [mm] $R_P$ [/mm] und [mm] $R_Q$ [/mm] fest gewaehlt. Definiere dann die rationale Funktion $R$ durch $R(X) := [mm] \frac{R_P(Q + X) R_Q(-X)}{R_P(X) R_Q(P - X)}$. [/mm] (Weisst du, warum das eine rationale Funktion auf $E$ ist?)
Zeige jetzt, dass diese rationale Funktion weder Null- noch Polstellen hat. Berechne dazu fuer jedes $X [mm] \in [/mm] E$ die Bewertung von $R$. (Die Punkte $X = P$, $X = -Q$, $X = P - Q$ und $X = [mm] \infty$ [/mm] solltest du getrennt betrachten.)
Schliesslich kannst du den Satz von Liouville anwenden (heisst vermutlich anders): eine rationale Funktion ohne Polstellen (alternativ: ohne Nullstellen) ist konstant. Und wenn $R$ konstant ist, dann haengt [mm] $e_n(P, [/mm] Q) = R(X)$ nicht von $X$ ab.
LG Felix
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