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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:43 So 19.03.2006 | | Autor: | ronald |
| Aufgabe | Der Endomorphismus [mm] \phi [/mm] des [mm] \IQ [/mm] -Vektorraums [mm] Q^{4} [/mm] sei bzgl. der kanonischen Basis durch folgende Matrix gegeben:
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 1 &-1}
[/mm]
a) Geben Sie eine Darstellung des [mm] \IQ[x]-Moduls _{\IQ[\phi]} \IQ^{4} [/mm] als Produkt zweier zyklischer Moduln an.
b) Bestimmen Sie das Minimalpolynom, die Elementarteiler und invarianten Teiler von [mm] _{\IQ[\phi]} \IQ^{4} [/mm] .
c) Bestimmen Sie die Weierstrass-Normalform von [mm] \phi [/mm] und geben Sie die entsprechende Basis von [mm] \IQ^{4} [/mm] an.
d) Bestimmen Sie die Jordan-Normalform von [mm] \phi [/mm] mit Jordanbasis. |
hallo zusammen,
zunächst einmal sieht man ja mit "geübten Augen"(zitat von unserem Prof), dass die 2x2 Matrix links oben schon in JordanNf vorliegt und die andere 2x2 unten rechts ein Frobeniusblock ist.
Bei a) besteht mein Produkt aus [mm] \IQ[x]/(x-2)² [/mm] und [mm] \IQ[x]/(x+2)(x-3). [/mm] Stimmt das?
Und bei b) sieht mein Mininalpolynom folgendermaßen aus:
(x-2)²(x+2)(x-3) Ist das richtig?
Und jetzt weiß ich nicht, was die Elementar- und Invariantenteiler von [mm] _{\IQ[\phi]} \IQ^{4} [/mm] sind.
Bei c) habe ich eine Darstellung als WNF
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &-3}
[/mm]
habe aber keine Ahnung wie ich auf die Basis kommen soll.
bei d) ist es ähnlich wie bei b).
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand bei der Aufgabe bisschen helfen könnte.
Es würde schon reichen, wenn ihr eure Lösungen präsentiert. Die Zwischenschritte könnte ich mir vielleicht zusammen reimen. Aber nur vielleicht :)
Danke im Voraus.
Grüsse
ronald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 21.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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