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Weierstraß-Test: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mi 14.05.2008
Autor: Tobus

Aufgabe
Zeigen sie mit Hilfe des Weierstraß-Test, dass die Reihen

[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (sin [mm] nx)/(n^2) [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|) [/mm]

gleichmäßig vonvergent auf R sind

Hallo,
leider haben wir im Skript nur ein Satz zum Weierstraß-Test, und zwar wenn eine $ [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] $ < $ [mm] \infty [/mm] $ und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.

Leider hilft mir dieser eine Satz überhaupt nicht beim Lösen der Aufgabe.
Könnte mir da jemand bitte helfen ?

DANKE

#
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Weierstraß-Test: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Mi 14.05.2008
Autor: abakus


> Zeigen sie mit Hilfe des Weierstraß-Test, dass die Reihen
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (sin [mm]nx)/(n^2)[/mm]
>  [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)[/mm]
>  
> gleichmäßig vonvergent auf R sind
>  Hallo,
>  leider haben wir im Skript nur ein Satz zum
> Weierstraß-Test, und zwar wenn eine [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] und es existiert ||fn(x)|| < Folgenglieder, dann
> konvergiert die Summe von fn gleichmäßig.
>  
> Leider hilft mir dieser eine Satz überhaupt nicht beim
> Lösen der Aufgabe.
>  Könnte mir da jemand bitte helfen ?
>  
> DANKE
>  
> #
>  # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.  

Hallo, mal so ganz allgemein: die Summe  [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(n^2)[/mm] konvergiert, dann tut es  [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (sin [mm]nx)/(n^2)[/mm] erst recht.

Bezug
                
Bezug
Weierstraß-Test: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Mi 14.05.2008
Autor: Tobus

klar, aber das reicht als beweis leider nicht, denn ich muss den weierstraß-test nehmen

Bezug
                        
Bezug
Weierstraß-Test: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mi 14.05.2008
Autor: abakus


> klar, aber das reicht als beweis leider nicht, denn ich
> muss den weierstraß-test nehmen

Kannst du den nicht auf das Beispiel anwenden?


Bezug
                                
Bezug
Weierstraß-Test: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Mi 14.05.2008
Autor: Tobus

nein, leider nicht. ich hab noch nie ein beispiel von weierstraß-test gesehen, in der vorlesung wurde der auch kaum behandelt.

[mm] \summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|) [/mm]
ich brauche also eine funktion, die konvergent ist, sowie immer kleiner als mein [mm] 1/(2^n+|x|). [/mm]
also habe ich: 0<q<0,5, wobei q fest ist. muss ich jetzt nur noch eine funktion in abhängigkeit von x finden ?

Bezug
                                        
Bezug
Weierstraß-Test: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mi 14.05.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> nein, leider nicht. ich hab noch nie ein beispiel von
> weierstraß-test gesehen, in der vorlesung wurde der auch
> kaum behandelt.
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n} 1/(2^n+|x|)[/mm]
>  ich brauche also eine
> funktion, die konvergent ist, sowie immer kleiner als mein
> [mm]1/(2^n+|x|).[/mm]
>  also habe ich: 0<q<0,5, wobei q fest ist. muss ich jetzt
> nur noch eine funktion in abhängigkeit von x finden ?

nein, die "Majorante" darf eben nicht abhängig von $x$ sein. Deine Reihe oben ist
[mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ [/mm] mit [mm] $f_n(x)=\frac{1}{2^n+|x|}$ [/mm]

Offensichtlich gilt für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$: [/mm]
[mm] $|f_n(x)| \le M_n:=\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n$ [/mm]

Im Prinzip bist Du dann schon fertig (Stichwort: Geometrische Reihe).

Und bei

[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n*x)}{n^2}$ [/mm]

geht es analog:

Hier ist [mm] $f_n(x)=\frac{\sin(n*x)}{n^2}$ [/mm] und damit gilt hier für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$: [/mm]

[mm] $|f_n(x)| \le \frac{1}{n^2}=:M_n$ [/mm]

Ist Dir die Aussage des M-Test's bekannt? Sonst []hier anklicken.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Weierstraß-Test: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Mi 14.05.2008
Autor: Tobus

ah ok, ich glaube ich habe es kapiert. vielen dank !!

Bezug
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