Wegintegral: reell ~ komplex < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Matheraumler.
Kann mir hier einer sagen, ob es einen tieferen Zusammenhang zwischen dem komplexen Wegintegral und dem reellen Wegintegral eines 2-dim. Vekktorfeldes gibt? Z.B. Was folgt für [mm] f [/mm] , wenn [mm] \vec F := \begin{pmatrix} Re(f) \\ Im(f) \end{pmatrix} [/mm] Gradientenfeld? Was folgt für [mm] \vec F [/mm] aus dem Wert des Wegintegrals von [mm] f [/mm] , ...
Hier ist, was ich herausgefunden habe:
Sei [mm] f : U \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} [/mm] stetig, [mm] c : [a,b] \rightarrow U [/mm] stückweise [mm] C^1 [/mm] , [mm] \gamma [/mm] sei [mm] c [/mm] aufgefasst als [mm] [a,b] \rightarrow U \subset \mathbb{R}^2, \vec F [/mm] sei [mm] f [/mm] aufgefasst als [mm] U \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, A:= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} [/mm] [mm] und [/mm] [mm] B:= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \int_c f(z) \, dz := \int_{a}^{b} Re(f(c(t)))* Re(c'(t)) - Im(f(c(t)))*Im(c'(t)) \,dt + i \int_{a}^{b} Re(f(c(t)))* Im(c'(t)) + Im(f(c(t)))*Re(c'(t)) \,dt
= \int_{a}^{b} \langle \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} Re(f(c(t))) \\ Im(f(c(t))) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} Re(c'(t)) \\ Im(c'(t)) \end{pmatrix} \rangle \,dt + i \int_{a}^{b} \langle \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} Re(f(c(t))) \\ Im(f(c(t))) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} Re(c'(t)) \\ Im(c'(t)) \end{pmatrix} \rangle \,dt
= \int_\gamma A \circ \vec F * \, \vec ds + i \int_\gamma B \circ \vec F * \, \vec ds [/mm]
[mm] \forall v \in \mathbb{R}^2 : \langle A *v , B*v \rangle = 0 [/mm] insbesondere [mm] \langle A \circ \vec F , B \circ \vec F \rangle = 0 [/mm]
[mm] AB + BA = 0 [/mm] und [mm] BA [/mm] induziert die sog. Windungform [mm] \omega= \bruch{1}{x^2+y^2}(-y\;dx+x\;dy) [/mm]
Ob das irgendwie weiterhilft, weiß ich nicht...
Vielen Dank, schon im voraus! Ich würd' mich freuen, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet.
Gruß,
AlthePal
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Das Folgende ist keine Herleitung, sondern lediglich ein Formalismus. Aber er beschreibt die Situation.
Man zerlege in Real- und Imaginärteil:
[mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm]
[mm]f(z) = u(x,y) + \operatorname{i} v(x,y)[/mm]
mit [mm]x,y \in \mathbb{R}[/mm] und [mm]u(x,y),v(x,y) \in \mathbb{R}[/mm]. Wenn man zusätzlich das komplexe Differential in Real- und Imaginärteil zerlegt:
[mm]\mathrm{d}z = \mathrm{d}x + \operatorname{i} \, \mathrm{d}y[/mm]
kann man durch formale Rechnung den Zusammenhang herstellen:
[mm]\int_{\gamma}~f(z)~\mathrm{d}z \ = \ \int_{\gamma}~\left(u(x,y) + \operatorname{i} v(x,y) \right)~\left(\mathrm{d}x + \operatorname{i} \, \mathrm{d}y \right)[/mm]
[mm]= \ \int_{\gamma}~\left( u(x,y) \, \mathrm{d}x - v(x,y) \, \mathrm{d}y \right) \ + \ \operatorname{i} \int_{\gamma}~\left(v(x,y) \, \mathrm{d}x + u(x,y) \, \mathrm{d}y \right)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mi 13.09.2006 | | Autor: | AlthePal |
Hallo Leopold_Gast.
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe den Artikel als fehlerhaft eingestuft; nicht weil der Inhalt fehlerhaft ist, sondern weil er meine Frage nicht hinreichend beantwortet. Diesen "formalen" Zusammenhang hatte ich ja schon in meinem Artikel erwähnt.
LG,
AlthePal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 21.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
