Wegintegral entlang Kreis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Di 26.07.2011 | | Autor: | Ailya |
| Aufgabe | Gegeben sei:
1. Ein Kreis mit Radius R
2. ein Vektorfeld [mm] \vec F(\vec x)=xy\hat x+y \hat [/mm] y
Bestimmen Sie das Wegintegral [mm] \integral_{Weg\vec x(t)}^{} \vec F(x)\, [/mm] dx entlang des Kreises.
Start- und Entpunkt des Weges soll der Punkt [mm] \vec x0:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] sein.
Hinweis: Das Integral muss so weit wie möglich vereinfacht werden, aber keine Stammfunktion ausgewertet werden. |
Ansatz ist ja:
[mm] \int_{Anfang}^{Ende} \vec F(\vec [/mm] x) * [mm] \bruch{\vec x(t)}{dt} \, [/mm] dx
[img]
Ich hab bereits andere Wegintegralaufgaben berechnet, allerdings hatte ich mit denen keine Probleme, weil Anfang und Ende des Integrals unterschiedlich waren und ich [mm] \bruch{\vec x(t)}{dt} [/mm] gegeben hatte. Es muss sich ja hierbei um etwas wie die Formel für den Umfang des Kreises handeln.
P.S. Ich glaube ich habe den Formeleditor etwas zu stark mit Formeln überlastet :) Im Vektorfeld soll auf das letzte y ein Dach drauf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei:
> 1. Ein Kreis mit Radius R
> 2. ein Vektorfeld [mm]\vec F(\vec x)=xy\hat x+y \hat[/mm] y
> Bestimmen Sie das Wegintegral [mm] \integral_{Weg\vec x(t)}^{} \vec F(x)\,[/mm]
> dx entlang des Kreises.
> Start- und Entpunkt des Weges soll der Punkt [mm]\vec x0:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> sein.
> Hinweis: Das Integral muss so weit wie möglich vereinfacht
> werden, aber keine Stammfunktion ausgewertet werden.
> Ansatz ist ja:
> [mm]\int_{Anfang}^{Ende} \vec F(\vec[/mm] x) * [mm]\bruch{\vec x(t)}{dt} \,[/mm]
> dx
>
> [img]
>
> Ich hab bereits andere Wegintegralaufgaben berechnet, allerdings hatte ich mit denen keine Probleme, weil Anfang und Ende des Integrals unterschiedlich waren und ich [mm]\bruch{\vec x(t)}{dt}[/mm] gegeben hatte. Es muss sich ja hierbei um etwas wie die Formel für den Umfang des Kreises handeln.
> P.S. Ich glaube ich habe den Formeleditor etwas zu stark mit Formeln überlastet :) Im Vektorfeld soll auf das letzte y ein Dach drauf.
Also so:
$ [mm] \vec F(\vec x)=xy\hat [/mm] x+y [mm] \hat [/mm] y $ ?
Wenn Du jetzt noch den Zusammenhang zwischen [mm] \vec{x}, [/mm] x, y, [mm] $\hat{x}$ [/mm] und [mm] \hat{y } [/mm] erklärst, kann man Dir vielleicht helfen.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 26.07.2011 | | Autor: | Ailya |
Ja, es sollte wie deine Formel aussehen.
Zusammenhang? Das ist eine Übungsaufgabe, die so gestellt wurde. Mehr Informationen habe ich auch nicht dazu.
Also wenn man das Vektorfeld als Vektor darstellt, soll es so aussehen.
[mm] \begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
Weil [mm] \hat [/mm] x oben im Vektor steht und [mm] \hat [/mm] y unten
Glaube ich. Nur eine Vermutung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Di 26.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Ja, es sollte wie deine Formel aussehen.
>
> Zusammenhang? Das ist eine Übungsaufgabe, die so gestellt
> wurde. Mehr Informationen habe ich auch nicht dazu.
>
> Also wenn man das Vektorfeld als Vektor darstellt, soll es
> so aussehen.
> [mm]\begin{pmatrix} xy \\ y \end{pmatrix}[/mm]
> Weil [mm]\hat[/mm] x oben
> im Vektor steht und [mm]\hat[/mm] y unten
>
> Glaube ich. Nur eine Vermutung
Manchmal werden die (kanonischen) Einheitsvektoren mit einem Dach drüber dargestellt:
[mm] $\vec{e}_x=\hat{x}$
[/mm]
Das würde die Schreibweise $ [mm] \vec F(\vec x)=xy\cdot\hat{x} +y\cdot\hat{y}=xy\cdot\vec{e}_x +y\cdot\vec{e}_y$ [/mm] erklären.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Di 26.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei:
> 1. Ein Kreis mit Radius R
> 2. ein Vektorfeld [mm]\vec F(\vec x)=xy\hat x+y \hat[/mm] y
ich nehme an, Du meinst das Feld:
[mm] $\vec{F}(x,y)=\left(\begin{array}{c}xy\\y\end{array}\right)$
[/mm]
> Bestimmen Sie das Wegintegral [mm] \integral_{Weg\vec x(t)}^{} \vec F(x)\,[/mm]
> dx entlang des Kreises.
> Start- und Entpunkt des Weges soll der Punkt [mm]\vec x0:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> sein.
Mir stellt sich noch die Frage ob der Kreis durch den Koordinatenursprung gehen soll und/oder wie groß der Radius ist.
> Hinweis: Das Integral muss so weit wie möglich vereinfacht
> werden, aber keine Stammfunktion ausgewertet werden.
> Ansatz ist ja:
> [mm]\int_{Anfang}^{Ende} \vec F(\vec[/mm] x) * [mm]\bruch{\vec x(t)}{dt} \,[/mm]
> dx
Du brauchst hier ein Kurvenintegral zweiter Art:
[mm] $\int\limits _{\gamma}\vec{F}(\vec{x})\cdot\mathrm{d}\vec{x}=\int\limits _{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\dot{\vec{\gamma}}(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
>
> [img]
>
> Ich hab bereits andere Wegintegralaufgaben berechnet, allerdings hatte ich mit denen keine Probleme, weil Anfang und Ende des Integrals unterschiedlich waren und ich
Ist es etwa ein Problem, wenn Start- und Endpunkt identisch sind?
> [mm]\bruch{\vec x(t)}{dt}[/mm] gegeben hatte. Es muss sich ja hierbei um etwas wie die Formel für den Umfang des Kreises handeln.
Du musst eine Parametrisierung [mm] $\gamma(t)$ [/mm] des Kreis finden.
> P.S. Ich glaube ich habe den Formeleditor etwas zu stark mit Formeln überlastet :) Im Vektorfeld soll auf das letzte y ein Dach drauf.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 26.07.2011 | | Autor: | Ailya |
Das ist eine alte Übungsaufgabe. Deshalb weis ich leider auch nicht mehr, asl dort drin steht. Es sollen denke ich nur Formal gerechnet werden, als keine exakten Werte. Stehen ja keine drin.
Wenn ich z.B. den Flächeninhalt einer Kurve beschreibe, und Start und Endpunkt gleich sind, ist der Flächeninhalt doch 0. Das Problem es ja dreidimensional ist und ich den Weg zwischen den beiden Punktne erst "abgehen" muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 26.07.2011 | | Autor: | notinX |
> Das ist eine alte Übungsaufgabe. Deshalb weis ich leider
> auch nicht mehr, asl dort drin steht. Es sollen denke ich
> nur Formal gerechnet werden, als keine exakten Werte.
> Stehen ja keine drin.
Der Start- und Endpunkt ist doch exakt angegeben. Wenn man nun noch wüsste, dass der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt hätte man zum einen den Radius des Kreises und die Rechnung wäre einfacher als bei einem beliebigen Kreis der durch den Punkt geht.
> Wenn ich z.B. den Flächeninhalt einer Kurve beschreibe,
> und Start und Endpunkt gleich sind, ist der
Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt, also kann es keinen Flächeninhalt haben.
> Flächeninhalt
> doch 0. Das Problem es ja dreidimensional ist und ich den
> Weg zwischen den beiden Punktne erst "abgehen" muss.
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