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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 10.06.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | Das Vektorfeld F: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] sei definiert durch
F(x,y,z) := [mm] (e^{y}cos(z) [/mm] , [mm] xe^{y}cos(z), -xe^{y}sin(z))
[/mm]
Sei 0<b<a und [mm] \gamma(t) [/mm] := (acos(t), bsin(t), [mm] \bruch{t}{8} [/mm] ), für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi. [/mm] Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}^{}{w_F}. [/mm] |
Habe so ein paar Probleme mit dieser Aufgabe
Also habe schon mal zusammengesammelt, dass [mm] w_F(x,v) [/mm] = [mm] F(x)\*v [/mm] ist
das heißt, [mm] w_F [/mm] : G [mm] \times \IR^3 \to \IR
[/mm]
zudem müsste [mm] \integral_{\gamma}^{}{w_F}= \integral_{b}^{a}{w_F(\gamma(t))||\gamma(t)'||dt} [/mm] sein
Jetzt geht aber [mm] \gamma [/mm] doch von [b,a] [mm] \to \IR^3 [/mm] oder nicht?
wie setze ich den dann also in [mm] w_F [/mm] ein?
Mein Problem dabei ist wahrscheinlich, dass ich nicht weiß, was bei [mm] w_F(x,v) [/mm] das v ist. Also v ist irgendwie ein Vektor aus G und G ist irgendwie ein Gebiet aus dem [mm] \IR^3 [/mm]
Wenn ich das ganze richtig verstanden habe ist v in diesem Fall auch die Variable und der Punkt x bleibt jeweils fest (es gibt also zu jedem Punkt x eine Funktion in Abhängigkeit der Vektoren v)
bin mir da aber nicht so sicher
Wäre schön wenn mir jemand nur kurz sagen könnte wie ich [mm] \gamma [/mm] in [mm] w_F [/mm] einsetzen kann ich hoffe das wird mir dann schon weiterhelfen
vielen Dank schon mal fürs lesen 
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Ich vermute einmal, daß mit [mm]\omega_F[/mm] die Differentialform
[mm]\omega_F = \operatorname{e}^y \cos{z} \, \mathrm{d}x + x \operatorname{e}^y \cos{z} \, \mathrm{d}y - x \operatorname{e}^y \sin{z} \, \mathrm{d}z [/mm]
gemeint ist (so kenne ich jedenfalls den Begriff Pfaffsche Form) und das Kurvenintegral
[mm]\int_{\gamma}~\omega_F[/mm]
ermittelt werden soll. Ein solches Kurvenintegral wird folgendermaßen berechnet: Man setzt für [mm]x,y,z[/mm] die Koordinaten der Kurve ein, hier also
[mm]x = a \cos{t} \, , \ \ y = b \sin{t} \, , \ \ z = \frac{t}{8}[/mm]
Die Differentiale [mm]\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z[/mm] sind ebenfalls zu ersetzen:
[mm]\mathrm{d}x = -a \sin{t} \, \mathrm{d}t \, , \ \ \mathrm{d}y = b \cos{t} \, \mathrm{d}t \, , \ \ \mathrm{d}z = \frac{1}{8} \, \mathrm{d}t[/mm]
Und wenn man dann [mm]\mathrm{d}t[/mm] nach hinten ausklammert, erhält man ein Integral, das nur noch von der Variablen [mm]t[/mm] abhängt. Das ist in gewohnter Weise zu lösen. Die Integrationsgrenzen werden durch das Parameterintervall der Kurve bestimmt, hier also [mm]0[/mm] und [mm]2 \pi[/mm]:
[mm]\int_{\gamma}~\omega_F = \int_0^{2 \pi}~\ldots~\mathrm{d}t[/mm]
In diesem Spezialfall ist allerdings [mm]\omega_F[/mm] das Differential von
[mm]G(x,y,z) = x \operatorname{e}^y \cos{z}[/mm]
das heißt, es gilt
[mm]\mathrm{d}G = \frac{\partial{G}}{\partial{x}} \, \mathrm{d}x + \frac{\partial{G}}{\partial{y}} \, \mathrm{d}y + \frac{\partial{G}}{\partial{z}} \, \mathrm{d}z = \omega_F[/mm]
wie du sofort nachrechnen kannst. Deshalb kann hier das Kurvenintegral ohne Parametrisierung viel leichter bestimmt werden durch
[mm]\int_{\gamma}~\omega_F = G \left( \gamma(2 \pi) \right) - G \left( \gamma(0) \right)[/mm]
Du kannst ja einmal beide Möglichkeiten durchrechnen. Es sollte sich dasselbe ergeben.
So geht jedenfalls der Formalismus. Natürlich erklärt der noch nicht, was das Ganze soll ...
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