Wegintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Man berechne die folgenden Wegintegrale:
a) [mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{x} dx + (e^{y} + x) dy} [/mm] entlang von [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \begin{cases} (\wurzel{t},t), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le 1 < 1 \\ (2-t,\wurzel{2-t}), \ \ \ \ \ 1 \le t \le 2 \end{cases}
[/mm]
b)... |
Hallo
Ich habe diese Aufgabe gerade versucht zu lösen. Nachdem ich bei 2 Versuche auf 2 verschiedene Resultate gekommen bin (keines davon das Richtige, sonst wäre ich ja glücklich und zufrieden ^^), muss ich doch hier auf eine Korrektur hoffen :)
Ich poste mal meine Rechnungen.
Nun, ich spalte zuerst alles in 2 Integrale, eins von 0 bis 1, ein anderes von 1 bis 2 und setze für x bzw. y mein [mm] \gamma(t) [/mm] ein und für dx bzw. dy die Ableitung davon. Da es sich um Summen handelt, kann ich die linearität des Integrals benutzen und schön alles in einfache Integrale aufspalten. Dies gibt mir:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{e^{x} dx + (e^{y} + x) dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{\wurzel{t}}*\bruch{1}{2\wurzel{t}} dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{e^{t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{-e^{2-t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{e^{\wurzel{2-t}}*\bruch{1}{2\wurzel{2-t}} dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{(2-t)*\bruch{1}{2\wurzel{2-t}} dt}
[/mm]
= [mm] e^{\wurzel{t}} [/mm] + [mm] e^{t} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}\wurzel{t^{3}} [/mm] + [mm] e^{2-t} [/mm] - [mm] e^{\wurzel{2-t}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{(2-t)^{3}}
[/mm]
(Hier fehlen die Grenzen, wusste nicht wie einfügen.. die erste 3 Terme von 0-1, die letzten 3 Terme von 1-2)
Die Grenzen eingesetzt erhalte ich:
e - 1 + e - 1 + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + 1 - e + e + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - 1 = 2e - 1
Die Lösung müsste aber [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein!
Wo ist mein Fehler? Ich glaube, ich habe in den letzten Tagen soviel gerechnet, dass ich jetzt zu viele Flüchtigkeitsfehler mache.. Ist das hier auch der Fall?
Grüsse, Amaro
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Hallo Arcesius,
> Man berechne die folgenden Wegintegrale:
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> a) [mm]\integral_{\gamma}^{}{e^{x} dx + (e^{y} + x) dy}[/mm] entlang
> von [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\begin{cases} (\wurzel{t},t), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le 1 < 1 \\ (2-t,\wurzel{2-t}), \ \ \ \ \ 1 \le t \le 2 \end{cases}[/mm]
>
> b)...
> Hallo
>
> Ich habe diese Aufgabe gerade versucht zu lösen. Nachdem
> ich bei 2 Versuche auf 2 verschiedene Resultate gekommen
> bin (keines davon das Richtige, sonst wäre ich ja
> glücklich und zufrieden ^^), muss ich doch hier auf eine
> Korrektur hoffen :)
>
> Ich poste mal meine Rechnungen.
>
> Nun, ich spalte zuerst alles in 2 Integrale, eins von 0 bis
> 1, ein anderes von 1 bis 2 und setze für x bzw. y mein
> [mm]\gamma(t)[/mm] ein und für dx bzw. dy die Ableitung davon. Da
> es sich um Summen handelt, kann ich die linearität des
> Integrals benutzen und schön alles in einfache Integrale
> aufspalten. Dies gibt mir:
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{e^{x} dx + (e^{y} + x) dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^{\wurzel{t}}*\bruch{1}{2\wurzel{t}} dt}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{1}{e^{t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{-e^{2-t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{1}^{2}{e^{\wurzel{2-t}}*\bruch{1}{2\wurzel{2-t}} dt}[/mm]
> + [mm]\integral_{1}^{2}{(2-t)*\bruch{1}{2\wurzel{2-t}} dt}[/mm]
>
> = [mm]e^{\wurzel{t}}[/mm] + [mm]e^{t}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}\wurzel{t^{3}}[/mm] +
> [mm]e^{2-t}[/mm] - [mm]e^{\wurzel{2-t}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{(2-t)^{3}}[/mm]
Setzen wir die Grenzen entsprechend:
[mm]\left[e^{\wurzel{t}} + e^{t} + \bruch{2}{3}\wurzel{t^{3}}\right]_{0}^{1} +
\left[e^{2-t} - e^{\wurzel{2-t}} - \bruch{1}{3}\wurzel{(2-t)^{3}}\right]_{1}^{2}[/mm]
>
> (Hier fehlen die Grenzen, wusste nicht wie einfügen.. die
> erste 3 Terme von 0-1, die letzten 3 Terme von 1-2)
>
> Die Grenzen eingesetzt erhalte ich:
>
> e - 1 + e - 1 + [mm]\bruch{2}{3}[/mm] + 1 - e + e + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - 1
> = 2e - 1
>
> Die Lösung müsste aber [mm]\bruch{1}{3}[/mm] sein!
>
>
> Wo ist mein Fehler? Ich glaube, ich habe in den letzten
> Tagen soviel gerechnet, dass ich jetzt zu viele
> Flüchtigkeitsfehler mache.. Ist das hier auch der Fall?
Die Ableitung von [mm]\wurzel{2-t}[/mm] ist [mm]\bruch{\red{-}1}{2*\wurzel{2-t}}[/mm]
Dann ergibt sich das Integral für [mm] 1 \le t \le 2[/mm] zu:
[mm]\integral_{1}^{2}{e^{2-t}*\left(-1\right)+\left(e^{\wurzel{2-t}}+2-t\right)*\bruch{\red{-}1}{2*\wurzel{2-t}} \ dt}[/mm]
Die Stammfunktion des Integranden ist
[mm]e^{2-t} \red{+} e^{\wurzel{2-t}} \red{+} \bruch{1}{3}\wurzel{(2-t)^{3}}[/mm]
Dann stimmt auch das Ergebnis.
>
> Grüsse, Amaro
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo MathePower
> Die Ableitung von [mm]\wurzel{2-t}[/mm] ist
> [mm]\bruch{\red{-}1}{2*\wurzel{2-t}}[/mm]
>
> Dann ergibt sich das Integral für [mm]1 \le t \le 2[/mm] zu:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{e^{2-t}*\left(-1\right)+\left(e^{\wurzel{2-t}}+2-t\right)*\bruch{\red{-}1}{2*\wurzel{2-t}} \ dt}[/mm]
>
>
> Die Stammfunktion des Integranden ist
>
> [mm]e^{2-t} \red{+} e^{\wurzel{2-t}} \red{+} \bruch{1}{3}\wurzel{(2-t)^{3}}[/mm]
>
> Dann stimmt auch das Ergebnis.
>
Omg.. was so ein Minuszeichen bewirken kann.. ^^
Auf jeden Fall danke für deine Korrektur und deine Zeit!
> Gruss
> MathePower
Grüsse, Amaro
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> Omg.. was so ein Minuszeichen bewirken kann.. ^^
Grabinschrift:
"Er ist infolge eines Vorzeichenfehlers nicht
mehr unter uns: Lenkrad nach rechts statt
nach links gedreht."
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Al
> > Omg.. was so ein Minuszeichen bewirken kann.. ^^
>
>
> Grabinschrift:
>
> "Er ist infolge eines Vorzeichenfehlers nicht
> mehr unter uns: Lenkrad nach rechts statt
> nach links gedreht."
>
Da will ich aber schwer hoffen, dass ich das Umgehen mit Minuszeichen und anderen Kleinigkeiten anhand von solchen Beispielen wie eben mein Wegintegral lerne, bevor ich auf die Praxis übergehe ;)
>
> LG
Grüsse
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