"Wechselwegnahme" euklid.Alg < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 06.12.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Es geht hier um die Wechselwegnahme, also das man aus einem Rechteck 15*6 ein Quadrat machen kann.
(15-6)*6=9*6
(9-6)*6= 6*3
(6-3)*3=3*3
Frage: Wieso erhält man immer ein Quadrat?
2. ein Quadrat hat Seitenlänge c, dann ist c=ggT(a*b)
Zeige: k,l seien nat. zahlen und k>l mit ggT(k,l)=ggT(k-l,l) und diese Eigenschaft auf jeden Verfajrensschritt angewandt. |
Das ist doch nichts anderes als der euklid. Algorithmus oder?
Ich weiß aber nicht wie ich begründen kann, dass immer ein Quadrat raus kommt! Ich könnte nur sagen, dass bei euklid. Algorithmus nie ein Rest raus kommt und daher das Quadrat? wie 12= 2*6..Ich kanns nicht begründen.
Und Ich weiß nicht wie ich den 2.Teil zeigen kann. Das ist ja eigentlich nur der euklidische Algorithmus. z.B. ggT(72,30)=ggT(42,30)=ggT(12,30)=ggT(18,12)=ggT(6,12)=6
Aber wie soll ich das sonst erklären mit k und l?
LG
heinze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Fr 07.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne dir mal ein Rechteck [mm] 15\times [/mm] 6 auf. du trenst das größt mögliche Quadrat ab, also [mm] 6\times6 [/mm] es bleibt 9*6 davon wieder ein [mm] 6\times [/mm] 6 weg bleibt
[mm] 3\times6 [/mm] davon [mm] 3\times3 [/mm] weg bleit [mm] 3\times3
[/mm]
Das kann man umformulieren du hast ein Grundstück 15*6 und willst es mit möglichst großen quadraten pflastern: Klar, dass die Quadratseiten in beide längen passen müssen.
durch das "Abschneiden" von Quadraten schneidest du immer Quadrate ab, die man am Ende mit den Quadraten pflastern kann, die rauskommen.
und natürlich kommt ein quadrat raus, spätestens eines mit [mm] 1\times1 [/mm] etwa wenn dein ursprüngliches Rechteck [mm] 7\times [/mm] 15 war.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 07.12.2012 | | Autor: | heinze |
Danke für die Antwort und das Beispiel. Soweit ist mir das ja auch klar, ich weiß aber nicht wie ich das Begründen soll! Es ist ja logisch, dass ein Quadrat übrig bleiben muss aber ich weiß nicht wie ich diese Tatsache mathematisch formulieren kann.
LG
heinze
|
|
|
| |
|
> Danke für die Antwort und das Beispiel. Soweit ist mir das
> ja auch klar, ich weiß aber nicht wie ich das Begründen
> soll! Es ist ja logisch, dass ein Quadrat übrig bleiben
> muss aber ich weiß nicht wie ich diese Tatsache
> mathematisch formulieren kann.
>
>
> LG
> heinze
Hi heinze,
du hast vergessen, eine ganz wichtige Voraussetzung
für die Aufgabe anzugeben:
Das ursprüngliche Rechteck, von dem man ausgeht,
muss ganzzahlige (positive) Seitenlängen haben !
(andernfalls ist die Behauptung falsch)
(0) Seien also a und b die Seitenlängen mit [mm] a\in\IN [/mm] und [mm] b\in\IN
[/mm]
(1) Ist a=b, so haben wir schon ein Quadrat (mit positiver,
ganzzahliger Seitenlänge) und sind fertig.
(2) Ist a<b, so vertauschen wir die Bezeichnungen und können
nun von a>b und [mm] c:=a-b\in\IN [/mm] ausgehen, und eben c>0.
Vom Rechteck mit dem Format $\ [mm] a\times [/mm] b$ können wir nun
ein Quadrat ( $\ [mm] b\times [/mm] b$ ) abschneiden. Es bleibt ein
Rechteck ( $\ [mm] a\times [/mm] c$ ) mit [mm] a\in\IN [/mm] und [mm] c\in\IN [/mm] übrig.
Wir taufen c in b um und haben dann wieder ein Rechteck
wie am Anfang, aber mit neuen (kleineren) Seitenlängen.
------> zurück zu Punkt (1) !
Das geschilderte Verfahren muss stets nach endlich vielen
Schritten bei einem Quadrat mit positiver, ganzzahliger
Seitenlänge enden. Da ja die Länge der längeren Rechtecksseite
bei jeder Wegnahme eines Quadrates um mindestens 1
abnimmt, ist die Anzahl der notwendigen Schritte bestimmt
kleiner als a (anfängliche Längsseite) und damit endlich.
So ungefähr gingen bestimmt auch die Gedanken von Euklid
(bzw. dessen Vorgänger, der der wirkliche Erfinder der
Wechselwegnahme war) !
LG
Al-Chwarizmi
Bemerkung:
Hätte das ursprüngliche Rechteck ein irrationales Seiten-
verhältnis (also insbesondere nicht zwei ganzzahlige
Seitenlängen), so würde der Prozess der Wechselwegnahme
unendlich weiter gehen, mit immer winzigeren Rest-
Rechtecken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 So 09.12.2012 | | Autor: | heinze |
Vielen Dank, das hat mir sehr weiter geholfen. Durch die Fallunterscheidung ist nun alles klar.
LG
heinze
|
|
|
|
