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Hallo!!
Ich habe die letzten zwei Semester Lineare Algebra I und II gehört.
Nun hatten wir in den Übungsaufgaben in LA II öfters die Formulierung "die Gruppe enthält Elemente der Ordung 1 (2,4,...)". Kann mir jemand erklären, was Ordnung bedeutet? Habe schon in Büchern gesucht, aber nichts passendes gefunden und in der Vorlesung ist das auch nie vorgekommen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl der Elemente in der Gruppe. Betrachten wir für eine Gruppe $G$ und ein Element [mm] $g\in [/mm] G$ die Menge [mm] $\langle g\rangle=\{e,g,g^2,...\}$, [/mm] dann versteht man unter der Ordnung eines Elementes die Anzahl der Elemente in eben dieser Menge [mm] $\langle g\rangle$. [/mm] Die Ordnung eines Elementes kann (in unendlichen Gruppen) unendlich sein, ansonsten ist sie (was sicher in endlichen Gruppen der Fall ist) endlich. Man kann den Begriff der Ordnung auch mit Hilfe von Untergruppen formulieren: die Ordnung eines Elementes $g$ einer Gruppe $G$ ist die Ordnung (bezogen auf die Definition für Gruppen) der von $g$ erzeugten zyklischen Untergruppe [mm] $\langle g\rangle [/mm] = [mm] \{e,g,g^2,...\}$. [/mm] Ist die Ordnung eines Elementes $g$ endlich, dann müssen sich die Elemente aus [mm] $\{e,g,g^2,..\}$ [/mm] wiederholen, es gibt also [mm] $i,j\in \IN, i\not= [/mm] j$ mit [mm] $g^i=g^j\gdw g^{i-j}=e$. [/mm] Dann ist [mm] $\{e,g,g^2,...\}=\{e,g,g^2,...,g^{i-j-1}\}$ [/mm] und $i-j$ die Ordnung von $g$. Mit anderen Worten: besitzt $g$ endliche Ordnung ist die Ordnung von $g$ genau kleinste [mm] $n\in \IN$ [/mm] mit [mm] $g^n=e$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Im Allgemeinen muss man
[mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle =\{g^n \, : \, n \in \IZ\}$
[/mm]
setzen. Nur im Falle, wo die Ordnung von [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] endlich ist, kommt man ohne die negativen Potenzen aus.
Mir ist klar, dass du das weißt, es war nur in der Darstellung nicht deutlich. 
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ach ja stimmt, das war mir entfallen. Danke!
Liebe Grüße,
Hanno
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