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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 21.10.2008 | | Autor: | Caclog |
Hallo,
ich arbeite momentan an einem Matheprojekt, und beschaeftige mich momentan mit diesem ([url=![[]](/images/popup.gif) 1+1=2"Mathewitz" oder wie auch immer und versuche mir hintergrundwissen ueber die einzelnen verwendeten Formeln anzulesen und so erklaeren zu koennen um was es geht. Allerdings hatte ich dann bei der 3. Gleichung (ist (4) ) die verwendet wurde keine ahnung wie ich das in google eingeben sollte, kann mir jemand sagen, was das fuer eine formel ist, oder mir sie erklaeren?
Gleiches gilt auch fuer nummer (7).
Caclog
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Caclog,
> Hallo,
> ich arbeite momentan an einem Matheprojekt, und
> beschaeftige mich momentan mit diesem
> ([url=1+1=2"Mathewitz" oder wie auch immer und versuche mir hintergrundwissen ueber die einzelnen verwendeten Formeln anzulesen und so erklaeren zu koennen um was es geht. Allerdings hatte ich dann bei der 3. Gleichung (ist (4) ) die verwendet wurde keine ahnung wie ich das in google eingeben sollte, kann mir jemand sagen, was das fuer eine formel ist, oder mir sie erklaeren?
Jo, das ist die Formel für die unendliche geometrische Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$
Hier mit [mm] $q=\frac{1}{2}$ [/mm] Beachte [mm] $\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n$
[/mm]
Die Herleitung ergibt sich aus der geometrischen Summenformel:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{k}q^n=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$ [/mm] (Beweis zB. per Induktion nach k, wenn du magst  )
Für $|q|<1$ konvergiert das [mm] $q^{k+1}$ [/mm] im Zähler für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen 0 und du erhältst die obige Formel für die unendliche geometrische Reihe
Für $|q|>1$ divergiert das Biest aber, daher ganz oben dir Forderung $|q|<1$
> Gleiches gilt auch fuer nummer (7).
Das ist eine Darstellung der eulerschen Zahl $e$ als Grenzwert der Folge [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=e$ [/mm] --> kommt in Analysis I dran bzw. steht in jedem Ana1-Lehrbuch
Hier halt statt n einfach c schreiben und es ist dasselbe ...
>
> Caclog
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 23.10.2008 | | Autor: | Caclog |
Hallo, vielen Dank fuer die Antwort,
>$ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q} [/mm] $
>Hier mit $ [mm] q=\frac{1}{2} [/mm] $ Beachte $ [mm] \frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] $
Ok, das habe ich verstanden,
>Die Herleitung ergibt sich aus der geometrischen Summenformel:...Für |q|<1 konvergiert das $ [mm] q^{k+1} [/mm] $ im Zähler für $ [mm] k\to\infty [/mm] $ gegen 0 und du erhältst die obige Formel für die unendliche geometrische Reihe
D.h., weil es gegen 0 konvergiert (es wird doch niemals genau 0 sein, oder?) setzte ich es gleich null und bekomme die Formel fuer die unendliche geometrische Reihe?
Und sonst habe ich das hier gefunden: http://www.matheprisma.de/Module/Craps/summe.htm
Und das meiste von der Praesentation ist klar, wie ich da hinkomme, das einzige was mir fehlt, ist wie das mit dem ausmultiplizieren im ersten schritt ist, wie wird aus dem -p ein +1? Kann mir das jemand erklaeren?
Viele Gruesse Caclog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus dem -p wird nirgends eine 1.
schau dir doch die dritte Zeile des "Films" an, da ist das mit Puenktchen, statt mit Summen geschrieben, dann muss es klar sein.
vielleicht verstehst dus besser wenn man das gleiche in 2 Teilen macht.
multipliziere die Summe mit p. Subtrahiere p*Summe von Summe
Summe =S
dann hast du [mm] S-p*S=S*(1-p)=1+p+p^2+....p^n
[/mm]
[mm] -p-p^2- -p^n-p^{n+1}
[/mm]
[mm] =1-p^{n+1}
[/mm]
In Mathe gilt fuer die reellen Zahlen das sog. Archimedische Axiom:
Eine Zahl die kleiner ist, als JEDES 1/n ist 0.
Soweit zu deinem "doch nicht wirklich 0
natuerlich , wenn die Summe bis zu nem endlichen n geht ist der letzte Summand nicht 0. aber man geht ja mit "gegen [mm] \infty" [/mm] ueber jedes noch so grosse denkmoegliche !
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Caclog |
Danke fuer die Antwort,
das subtrahieren der summen war eigentlich nicht das Problem das ich hatte, mein Fehler war viel banaler und ich habe einfach den Wald vor lauter Baeumen nicht gesehen.
Ich habe es mir bestimmt 3 mal neu aufgeschrieben und dachte immer, warum ist $ [mm] p\cdot{}\summe_{i=0}^{\infty}= p^0-p+p^1-p+p^2-p+...+p^n-p [/mm] $
gleich $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}i^n^+^1 [/mm] $
Aber als ich das dann abends ganz genau, was ich verstehe und was nicht in mein Tagebuch geschrieben hab haette ich mich schlagen koennen wie sonst was, das war einfach zu banal!
Viele Gruesse Caclog
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Formel 4 ist die Summe der geometrischen Reihe mit q=1/2
wobei allgemein gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q} [/mm] fuer q<1
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 23.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Deine Formel 4 ist die Summe der geometrischen Reihe mit
> q=1/2
> wobei allgemein gilt:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}[/mm] fuer q<1
q<1 ???? , also auch für q=-123 ? Nein !
Richtig ist |q|<1
FRED
> Gruss leduart
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