Was bedeutet das Wort System? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 16.10.2007 | | Autor: | der_emu |
Hallo,
in meinem Scriptum Wahrscheinlichkeits und Maßtheorie kommt das wort System oft vor (zB: System der Urbilder) Was ist das? Einfach nur eine "anhäufung" von MEngen oder steck da mehr dahinter?
mfg, emu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 16.10.2007 | | Autor: | der_emu |
Und was ist der unterschied zu einer Familie?
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Ich würde sagen, "System" ist hier einfach ein Synonym für "Menge". Wenn die Elemente von Mengen selbst wieder Mengen sind, dann verwendet man lieber den Begriff "System" statt "Menge". Das klingt erstens besser ("Mengensystem" statt "Mengenmenge") und unterstreicht auch die Komplexität der Elemente, die ja selber Mengen sind.
Mengen (oder Systeme) sind immer ungeordnete Zusammenfassungen. Dagegen sind Familien mit Hilfe einer Indexmenge sozusagen "durchnumeriert". Im Falle einer endlichen oder abzählbaren Indexmenge ist das auch noch sehr anschaulich. Etwas undurchsichtig wird das bei überabzählbaren Indexmengen. Dazu zwei Beispiele.
Beispiel 1
Betrachte für jedes [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] die Menge [mm]M_x = \left[ -x^2 , x^2 \right][/mm] (abgeschlossenes Intervall). Dann kannst du die Familie
[mm]\left( M_x \right)_{x \in \mathbb{R}}[/mm]
definieren. [mm]\mathbb{R}[/mm] selbst fungiert hier als Indexmenge. So ist z.B.
[mm]M_{\sqrt{2}} = [-2,2][/mm]
Es ist aber auch
[mm]M_{-\sqrt{2}} = [-2,2][/mm]
Das Familienmitglied [mm][-2,2][/mm] besitzt also zwei Numerierungen, es wird sozusagen zweimal gezählt (wie zwei eineiige Zwillinge einer Familie).
Beispiel 2
[mm]M_x[/mm] sei wie oben definiert. Dann kann man das Mengensystem
[mm]\mathcal{M} = \left\{ M_x \left| \, x \in \mathbb{R} \right. \right\}[/mm]
betrachten. Auch hier ist die Menge [mm][-2,2][/mm] zweimal aufgeführt. Dennoch existiert sie nur einmal als Element des Mengensystems [mm]\mathcal{M}[/mm]. Eine Menge besteht eben nur aus ihren wohlunterschiedenen Elementen, eine eventuelle Numerierung/Indizierung der Elemente ist irrelevant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 16.10.2007 | | Autor: | der_emu |
Vielen Dank, habs verstanden!
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