Was bedeutet Surjektiv? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Angenommen ich habe eine Funktion gegeben die vom R -> [mm] R^2 [/mm] geht.
Mit: x-> (x+1, x-1)
Wie zeige ich dass diese Funktion surjektiv (oder nicht ist).
Bei uns steht nur im Script: Surjektiv: f(X) = Y, doch darunter kann ich mir nicht wirklich etwas vorstellen.
|
|
| |
|
Hallo Stephan,
> Hallo,
>
> Angenommen ich habe eine Funktion gegeben die vom R -> [mm]R^2[/mm]
> geht.
> Mit: x-> (x+1, x-1)
>
> Wie zeige ich dass diese Funktion surjektiv (oder nicht
> ist).
>
> Bei uns steht nur im Script: Surjektiv: f(X) = Y, doch
> darunter kann ich mir nicht wirklich etwas vorstellen.
... für eine Funktion [mm] $f:X\to [/mm] Y$
Das bedeutet, dass das Bild unter f, also $f(X)$ die gesamte Menge $Y$ umfasst, mit anderen Worten:
Jedes [mm] $y\in [/mm] Y$ muss von einem [mm] $x\in [/mm] X$ getroffen werden, oder mathematischer:
[mm] $\forall y\in [/mm] Y \ [mm] \exists x\in [/mm] X: f(x)=y$
Bei deiner Funktion [mm] $f:\IR\to\IR^2$ [/mm] musst du also für den Surjektivitätsnachweis prüfen, ob auch wirklich jedes Paar [mm] $(y_1,y_2)\in\IR^2$ [/mm] von einem [mm] $x\in\IR$ [/mm] getroffen wird, mathematischer:
[mm] $\forall (y_1,y_2)\in [/mm] Y \ [mm] \exists x\in [/mm] X: [mm] f(x)=(y_1,y_2)$
[/mm]
Bzw. für eine evtl. Widerlegung der Surjektivität musst du (mind.) ein Paar [mm] $(y_1,y_2)\in\IR^2$ [/mm] finden und angeben, das von keinem [mm] $x\in\IR$ [/mm] getroffen wird, mathematisch gesagt:
f nicht surjektiv, falls [mm] $\exists (y_1,y_2)\in\IR^2 \forall x\in\IR:f(x)\neq (y_1,y_2)$
[/mm]
Lass die Abbildung ein bisschen auf dich wirken und schaue mal, ob ein paar elementare Gitterpunkte im [mm] \IR^2 [/mm] getroffen werden...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Schachuzipus hat Dir ja nun schön erklärt, was die Surjektivität bedeutet. Das ganze mal an einem Beispiel:
Betrachtest Du $f: [mm] D_f=\IR \to \IR=Z_f$ [/mm] mit $f(x)=|x|$, so ist $f$ nicht surjektiv. Denn:
$-1 [mm] \in \IR=Z_f$, [/mm] aber es gibt kein $x [mm] \in \IR=D_f$ [/mm] mit $f(x)=-1$.
(Denn:
Für alle $x [mm] \in \IR=D_f$ [/mm] gilt: $f(x)=|x| [mm] \ge [/mm] 0 > -1$, also $f(x) > -1$, was insbesondere $f(x) [mm] \not=-1$ [/mm] beinhaltet.)
Betrachten wir andererseits $g: [mm] D_g=\IR \to [0,\infty)=Z_g$ [/mm] mit $g(x)=|x|$, so ist $g$ surjektiv. Ist nämlich $y [mm] \in Z_g$ [/mm] beliebig, so ist [mm] $g^{-1}(\{y\})=\{\pm y\}$. [/mm]
(Eine andere mathematische Formulierung der Surjektivität neben denen, die Du bisher kennengelernt hast:
$f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt surjektiv genau dann, wenn für alle $y [mm] \in [/mm] Y$ gilt, dass [mm] $f^{-1}(\{y\}) \not=\emptyset$.)
[/mm]
Setzen wir also $x:=y$, so ist $x [mm] \in [0,\infty) \subset \IR$, [/mm] also insbesondere $x [mm] \in \IR=D_g$ [/mm] und es gilt:
$f(x)=f(y)=|y|=y$
Und jetzt zu Deiner Aufgabe:
$f: [mm] \IR \to \IR^2$ [/mm] mit $f(x):=(x+1,x-1)$. Wäre $f$ surjektiv, so müßte es zu jedem $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] geben, so dass folgte:
$f(x)=(x+1,x-1)=(r,s)$
Daraus folgen zwei Gleichungen für $x$, wenn $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] beliebig, aber fest ist:
(i) $x+1=r$ und (ii) $x-1=s$
Jetzt ist die Frage:
Sind diese beiden Gleichungen für jedes Paar $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] beide gleichzeitig lösbar? Also:
Gibt es zu jedem Paar $(r,s) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (mindestens) ein $x [mm] \in \IR$, [/mm] so dass (i) und (ii) für dieses $x$ beide gleichzeitig erfüllt sind?
Wenn Dir nichts weiter einfällt:
Wie sieht es denn speziell für $(r,s)=(0,0)$ aus?
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
