Warum t-Test bei Testvarianz < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 11.11.2007 | | Autor: | fat-twin |
Hallo Alle,
ich bin BWL-Student im Grundstudium.
ich verstehe nicht, warum ich, bei Hypothesen-Tests mit Stichprobenvarianz den Test über die T-Verteilung durchführe.
Woher kommt die T-Verteilung überhaupt und je mehr Freiheitsgrade ich habe, desto mehr nähert sie sich doch der Standardnormalverteilung an. Warum muss ich dann als Teststatisik die kritischen Werte aus der T-Verteilung ziehen?
Und nun die zweite Frage: Meine Stichprobenvarianz [mm] \hat o^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] [mm] \sum_{i=1}^{N} [/mm] (xi- [mm] \bar x [/mm] [mm] )^2 [/mm]
Warum teile teile ich durch die Freiheitsgrade?
Und mir sieht die Formel so aus, als sind meine Ausprägungen xi gleichverteilt, da ja bei der tatsächlichen Varianzformel noch die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ausprägungen mit einfließt!
Wäre echt Klasse, falls mir das jemand beantworten könnte,
schon einmal vielen Dank und beste Grüße
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 So 11.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin fat-twin,
> ich verstehe nicht, warum ich, bei Hypothesen-Tests mit
> Stichprobenvarianz den Test über die T-Verteilung
> durchführe.
> Woher kommt die T-Verteilung überhaupt und je mehr
> Freiheitsgrade ich habe, desto mehr nähert sie sich doch
> der Standardnormalverteilung an. Warum muss ich dann als
> Teststatisik die kritischen Werte aus der T-Verteilung
> ziehen?
Es sei [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] eine Stichprobe aus einer Normalverteilung
[mm] $N(\mu,\sigma^2)$. [/mm] Dann ist [mm] $\bar X=\sum X_i/n$ [/mm] normalverteilteilt
[mm] $N(\mu,\sigma^2/n)$. [/mm] Mithin ist die Standardisierung
[mm] $T(\mu)=\frac{\bar X-\mu}{\sigma}\sqrt{n}$
[/mm]
standardnormalverteilt.
Angenommen, es soll die Hypothese [mm] $H_0:\mu= [/mm] 10 $ getestet werden.
Intuitiv naheliegend ist es, die Differenz [mm] $\bar [/mm] X-10$ als Kriterium zu
verwenden. Ist sie zu gross oder zu klein, so wird [mm] $H_0$ [/mm] abgelehnt.
Was ist zu gross oder zu klein? Um das zu entscheiden, kann man $T(10)$
heranziehen. Wenn [mm] $\mu=10$ [/mm] ist, so koennen die Prozentpunkte der
Standardnormalverteilung herangezogen werden. Die Idee ist nicht
schlecht, hat jedoch einen Schoenenheitsfehler, denn $T(10)$ kann nicht
berechnet werden, da [mm] $\sigma^2$ [/mm] unbekannt ist.
Was aber spricht dagegen, wenn man [mm] $\sigma^2$ [/mm] durch [mm] $\widehat{\sigma^2}$
[/mm]
ersetzt? Das funktioniert auch ganz prima, es sei denn, es liegen
relativ wenige Beobachtungen vor (kleines n). Dann fuehrt die Verwendung
der Prozentpunkte der Standardnormalverteilung zu haeufig zu falschen
Entscheidungen, ganz einfach deswegen, weil die Standardnormalverteilung
ziemlich ungeeignet ist zur Approximation der Verteilung von
[mm] $T'(\mu)=\frac{\bar X-\mu}{\hat\sigma}\sqrt{n}$
[/mm]
wenn n klein ist.
> Und nun die zweite Frage: Meine Stichprobenvarianz [mm]\hat o^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm] [mm]\sum_{i=1}^{N}[/mm] (xi- [mm]\bar x[/mm] [mm])^2[/mm]
>
> Warum teile teile ich durch die Freiheitsgrade?
Was stoert dich daran?
>
> Und mir sieht die Formel so aus, als sind meine
> Ausprägungen xi gleichverteilt, da ja bei der tatsächlichen
> Varianzformel noch die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen
> Ausprägungen mit einfließt!
Hab mir mal deine [mm] $x_i$ [/mm] genauer angeschaut. Also ich finde
nichts Besonderes daran, riechen auch nicht sonderlich... 
Was willst du hier sagen?
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 11.11.2007 | | Autor: | fat-twin |
Hallo,
Danke für Deine schnelle Antwort, die "dritte" Frage war Quatsch, als hinfällig.
Gut, dass die Aproximation mit der Normal bzw. Standardnormalverteilung nicht funktioniert ist mir so klar geworden, aber warum funktioniert das ganze dann mit der T-Verteilung, und woher kommt die T-Verteilung.
Ich kann sie in meiner Vorstellung nicht greifen, also ich verstehe nicht wo sich wann eine solche T-Verteilung beobachten lässt.
Zur zweiten Frage:
Ja ich verstehe einfach nicht warum ich durch n-1 teile und nicht durch n?
Ich weiß was die Freiheitsgrade bedeuten, nur verstehe ich nicht warum ich bei geschätztem Mittelwert durch die Freiheitsgrade teile und nicht durch den Stichprobenumfang.
Ach ja und noch etwas, wie ergibt sich überhaupt die Teststatistik? Wie kann ich sie mir herleiten.?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 11.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
> Gut, dass die Aproximation mit der Normal bzw.
> Standardnormalverteilung nicht funktioniert ist mir so klar
> geworden, aber warum funktioniert das ganze dann mit der
> T-Verteilung, und woher kommt die T-Verteilung.
Na, weil man merkte, dass die Standardnormalverteilung nicht
funktionierte, hielt man Ausschau nach einer alternativen Verteilung.
Hierum hat sich W.S.Gosset verdient gemacht, der unter dem Pseudonym
"Student" veroeffentlichte. Ihm ist m.W. der Name "t-Verteilung"
zuzuschreiben. Gosset hat die Verteilung des Quotienten [mm] $T'(\mu)$ [/mm] und sie
nannte er so. Sie war vorher nicht da.
> Ich kann sie in meiner Vorstellung nicht greifen, also ich
> verstehe nicht wo sich wann eine solche T-Verteilung
> beobachten lässt.
Na z.B. dann, wenn man einen Test mit [mm] $T'(\mu)$ [/mm] durchfuehren will. Ich
vermute, dass du am Anfang der Statistik (II?) stehst. Nimm das jetzt mal
so hin.
> Zur zweiten Frage:
> Ja ich verstehe einfach nicht warum ich durch n-1 teile
> und nicht durch n?
Das kannst du auch, aber dann funktioniert die t-Verteilung nicht ganz.
>
> Ach ja und noch etwas, wie ergibt sich überhaupt die
> Teststatistik? Wie kann ich sie mir herleiten.?
Was meinst du mit herleiten? Warum es naheliegend ist, mit ihr einen Test
von [mm] $H_0:\mu=10$ [/mm] (z.B.) durchfuehren, habe ich oben dargelegt. Warum sie
t-verteilt ist, kannst du jetzt einfach so hinnehmen.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 So 11.11.2007 | | Autor: | fat-twin |
In Statisik II habe ich alles so hingenommen und sehr gut abgeschnitten, jetzt habe ich Empirische Ökonomie und wüsste gerne mehr. Aber das was Du mir gerade geschrieben hast, reicht mir erst einmal, wie man die T-Verteilung mathematisch korrekt herleitet brauch ich jetzt eigentlich nicht mehr zu wissen.
Mit der Teststatistik habe ich diese Formel gemeint [mm] T(\mu) = \bruch{\bar x - \mu}{\sigma} \sqrt {n} [/mm]
Ich weiß wie ich von Normalverteilung auf Standardnormalverteilung transformiere.
wie ich aber von [mm] z = \bruch{x-\mu}{\sigma_x} [/mm] auf die Teststatisik komme kann ich mir nicht erklären.
Warum die Division durch n-1 dann auf einmal klappt ist wahrscheinlich zu schwierig zu erklären?
Oh mann, Fragen über Fragen, ich hätte doch Mathe studieren sollen
Nochmal vielen Dank und beste Grüße
Markus
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