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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind
a) [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1\in \IQ[X]
[/mm]
b) [mm] 2X^4+200X^3+2000X^2+20000X+20\in \IQ[X] [/mm] |
Hallo.
Ich der Vorlesung hatten wir das Eisensteinkriterium und das Reduktionskriterium.
Also bei b) kann man Eisenstein anwenden mit p=5, denn 5 teilt nicht 2, aber 5 teilt 200,2000,20000 und 20, aber 25 teilt nicht 20; also alle Kriteren erfüllt
Bei a) hab ich so meine Probleme. Direkt kann man nicht Eisenstein anwenden, also bleibt das Reduktionskriterium. Ich habe es mit [mm] \IZ_{3} [/mm] und [mm] \IZ_{2} [/mm] versucht, aber das vereinfacht das Polynom nicht so richtig.
Hat einer eine Idee für die a) ?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Sa 26.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind
> a) [mm]X^4+3X^3+X^2-2X+1\in \IQ[X][/mm]
> b)
> [mm]2X^4+200X^3+2000X^2+20000X+20\in \IQ[X][/mm]
> Hallo.
> Ich der Vorlesung hatten wir das Eisensteinkriterium und
> das Reduktionskriterium.
>
> Also bei b) kann man Eisenstein anwenden mit p=5, denn 5
> teilt nicht 2, aber 5 teilt 200,2000,20000 und 20, aber 25
> teilt nicht 20; also alle Kriteren erfüllt
Nein, da 5 in [mm] $\IQ$ [/mm] kein Primelement ist. In [mm] $\IZ$ [/mm] dagegen schon, aber dort ist das Polynom nicht primitiv. Du musst also noch ein kleines wenig mehr arbeiten.
> Bei a) hab ich so meine Probleme. Direkt kann man nicht
> Eisenstein anwenden, also bleibt das Reduktionskriterium.
> Ich habe es mit [mm]\IZ_{3}[/mm] und [mm]\IZ_{2}[/mm] versucht, aber das
> vereinfacht das Polynom nicht so richtig.
Modulo 2 hat es eine Nullstelle (und zwar $X = 1$). Modulo 3 ist es jedoch irreduzibel.
Dazu musst du zeigen:
a) es hat keine Nullstellen modulo 3;
b) keins der (normierten) irreduziblen Polynome von Grad 2 in [mm] $(\IZ/3\IZ)[X]$ [/mm] teilt das Polynom (modulo 3).
(Du kannst es auch modulo 5 oder 7 anschauen, dann ist es auch irreduzibel, aber das ist aufwaendiger...)
LG Felix
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Zu a) Bevor ich losrechne, muss ich erst mal wissen, ob ich [mm] \IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{3} [/mm] richtig aufgestellt habe
[mm] \IZ_{2}={\overline{0},\overline{1}}= X^4+X^3+X^2+1( [/mm] Blöde Frage, aber muss ich die Exponenten auch in Modulo übersetzen?)
[mm] \IZ_{3}={\overline{0},\overline{1},\overline{2}}=X^4+X^2-2X+1
[/mm]
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 27.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Zu a) Bevor ich losrechne, muss ich erst mal wissen, ob ich
> [mm]\IZ_{2}[/mm] und [mm]\IZ_{3}[/mm] richtig aufgestellt habe
> [mm]\IZ_{2}={\overline{0},\overline{1}}= X^4+X^3+X^2+1([/mm]
Was soll das bedeuten? [mm] $\IZ_2$ [/mm] ist gleich [mm] $\{ \overline{0}, \overline{1} \}$, [/mm] ja, aber wieso soll das gleich [mm] $X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1$ sein? Das ist ein Polynom, keine Menge!
Aber das Polynom modulo 2 ist schon gleich [mm] $X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + 1$.
> Blöde Frage, aber muss ich die Exponenten auch in Modulo
> übersetzen?)
Nein. Das darfst du auf keinem Fall!
> [mm]\IZ_{3}={\overline{0},\overline{1},\overline{2}}=X^4+X^2-2X+1[/mm]
Siehe oben. Das was hinten steht ist das Polynom modulo 3, wobei du $-2 = 1$ benutzen kannst, aber das ist nicht gleich dem was davor steht!
LG Felix
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