Warum aufleiten? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 22:57 Do 21.08.2008 | | Autor: | ella87 |
Hallo!
Ich geben grade jemandem Nachhilfe, der sein Fernabi macht und mit so seltsamen Heften arbeitet. Gerade erarbeiten wir die Integralrechnung und es ist die Frage aufgekommen, warum man f(x) aufleitet.
Ich suche jetzt eine möglichst gute Darstellung oder Skizze, die das plausiebel erklärt. Vielleicht hat da je wer was auf Lager?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 21.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
aufleiten macht man gar nicht. Wenn schon, dann integrieren.
Integrieren wird in der Schule mist mit "Fläche zwischen x-Achse und Graph" eingeführt. Das wäre die eine Sache.
Die andere Begründung, warum man integriert wäre die Physikalische Sichtweise:
Viele physikalischen Gesetzte sind in Differentialgelcihungen verpackt. DIe kann man ab und zu auch durch einfaches Integrieren lösen.
Im Elektro-Magnetismus kann man viele Probleme mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen "schlachten", und dazu integriert man auch ein paar Funktionen.
Wenn man eine Stromdichtefunktion gegeben hat, kann man daraus den Strom I berechnen. Hat man den Strom, kann man daraus die Ladungen berechnen etc.
Also aus naturwissenschaftlicher Sicht, insbesondere aus physikalischer, sind solche Anwendungen sehr wichtig.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Do 21.08.2008 | | Autor: | ella87 |
okay, gut man integriert. es geht eben genau um die flächenberechnung.
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=...=F(b)-F(a)[/mm]
warum benutzt man hier die Stammfunktion zur Flächenberechnung. gibt es dafür eine anschauliche erklärung. naturwissenschaftliche erklärungen sind hier glaub ich nicht so angemessen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also mir fällt keine anschauliche Erklärung dafür ein, die nicht irgendwie physikalischen Ursprungs wäre.
Kannst ja höchstens versuchen den Beweis dazu zu verstehen.
In diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript z.B. gleich die ersten beiden Sätze/Beweise.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Do 21.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Frage war (glaub ich) nicht wieso man integriert, sondern wieso man zur Berechnung eines Integral sich der Stammfunktion bedient. Also was hat sozusagen die Stammfunktion von f mit dem Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse zu tun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Do 21.08.2008 | | Autor: | ella87 |
genau das. und? gibt es eine anschauliche erklärung?
lg
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Hallo!
Ich hab da mal was Hübsches bei Youtube entdeckt:
Hauptsatz Integralrechnung
Ich fand das nett  Mit Flächenstücken ist eben recht anschaulich.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Yeah... das ist geil ^^
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Hallo!
So rein zeichnerisch/mathematisch sehe ich da keine schöne Möglichkeit. Was hälst du von sowas?
Du hast ein Wasserbecken, in das Wasser rein und raus gepumpt werden kann.
Das Volumen im Behälter kann dann durch eine Funktion f(x) beschrieben werden. Hierbei ist x die Zeit.
Anschaulich liefert dir die Ableitung f'(x) nun die Fördermenge der Pumpe, also wieviel Wasser pro Sekunde rein/rausgepumpt wird. Denn [mm] $f'(x)=\frac{\Delta f}{\Delta x}$
[/mm]
Jetzt gehen wir davon aus, daß du NUR weißt, wieviel Wasser pro Sekunde gepumpt wird. Du kennst also nur f'(x).
Wie kannst du jetzt berechnen, wieviel Wasser im Becken ist?
Nun, du mußt diese Fördermenge mit der Zeit multiplizieren. Für einen Zeitraum [mm] $\Delta [/mm] x$ würdest du also rechnen [mm] $f'(x)*\Delta x=\frac{\Delta f}{\Delta x}*\Delta x=\Delta [/mm] f$
Dieses [mm] $\Delta [/mm] f$ ist also exakt die WasserMENGE, die ins Becken reingepumpt wurde. Nochmal: MENGE, also f(x) !!!
Jetzt mußt du noch dran denken, daß ich es mir mit dem Bruch ja sehr einfach gemacht habe. Um für eine größere Zeitspanne die Wassermenge zu berechnen, wenn der Zufluß nicht immer konstant ist, muß man die Zeitspanne in viele kleine Intervalle teilen, und das aufaddieren. (Das sollte klar sein, wenn man an die Einführung der Integrale duch Ober/UNtersummen denkt)
Wenn das verstanden wurde, hier nochwas:
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v. Das ist die Änderung der Strecke.
Demnach: [mm] $s=\int [/mm] v*dt4$ und da v=const: [mm] $s=v*t+s_0$ [/mm]
Nun haben wir ein Auto, das beschleunigt, also [mm] a\neq0 [/mm] und a=const.
Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit. Also:
[mm] $v=\int a*dt$=at+v_0$
[/mm]
Und da die Geschwindigkeit die (jetzt nicht mehr konstante) Änderung der Strecke ist:
[mm] $s=\int v*dt=\int(at+v_0)*dt=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0$
[/mm]
Das sind die beiden Formeln, die einem in den Klassen 8 und 9 immer diktiert werden, und wo man sich immer fragt, woher das 1/2 kommt.
Generell wird in der Schule viel zu wenig Wert auf den praktischen Nutzen der Integral/Differenzialrechnung gelegt.
Man lernt, daß man damit Flächen und evtl Volumen berechnen kann, mehr nicht.
Dabei it es grade hier wichtig, auch mal andere Beispiele z.B. aus Physik und Wirtschaft zu betrachten und vor allem zu verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Blech |
Wenn Du Dir die Definition des Riemann-Integral anschaust, dann wird der Graph durch senkrechte Scheibchen angenähert, deren Flächen man dann aufaddiert.
Wo immer Du eine Größe hast, die sich als Produkt von zwei Werten darstellen läßt, wovon einer ein konstant durchlaufender Parameter ist (z.B. vergangene Zeit, Strecke, etc.) und der andere konstant, kannst Du mit dem Integral die Größe berechnen, falls der konstante Wert plötzlich eine Funktion des Parameters ist.
Bsp.:
-zurückgelegte Strecke bei konstanter Geschwindigkeit ist Geschwindigkeit*Zeit. Das Integral erlaubt Dir jetzt, die zurückgelegte Strecke zu berechnen, wenn Du ein Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm hast (weil dann die Geschwindigkeit sich abhängig von der Zeit ausdrücken läßt.
EDIT: Das Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. Wenn also Ableiten einer Sache zu einer anderen führt, kannst Du das durch Integrieren umkehren. Die Ableitung der Ortsfunktion ist die Geschwindigkeitsfunktion. Die Ableitung von der ist die Beschleunigung. (anschaulich auch denk ich jeweils klar, wie der Differenzenquotient hier eine neue sinnvolle Größe produziert). Haben wir also eine konstant beschleunigte Bewegung ist a(t)=k. Damit ist [mm] $v(t)=\int [/mm] a(t)\ dt = kt$ und [mm] $x(t)=\int [/mm] v(t)\ dt= [mm] k\frac{t^2}{2}$. [/mm] Jeweils bis auf Konstanten, die Anfangsgeschwindigkeit u.ä. darstellen.
-Verbindung zwischen Flußgrößen und Zustandsgrößen. Du hast ein Diagramm, das Dir zeigt, wieviel Kilowatt Strom Du zu jedem Zeitpunkt über das letzte Jahr gezogen hast. Die Fläche unter dem Graphen ist dann der verbrauchte Strom (d.h. kWh mit geeigneter Konstante dranmultipliziert). Oder beim Auto aus dem gegenwärtigen Verbrauch den Gesamtverbrauch errechnen
-komplizierte Flächeninhalte. Kreissegmente z.B. die Fläche, wenn Du bei einem Einheitskreis ein Segment der Höhe 0.25 abschneidest. Wäre z.B. wichtig, wenn Du ein Gewicht mit Unwucht brauchst, um eine andere Unwucht auszugleichen - Bspsweise in einem Motor. Das Gewicht eines solchen Kreissegments hängt direkt von der Fläche ab. Mit Hilfe des Integrals kannst Du Gesamtgewicht und Schwerpunkt bestimmen.
-Stochastik und Statistik. Der Erwartungswert eines Würfelwurfs ist die Summe aller möglichen Ergebnisse mal der Wahrscheinlichkeit, daß sie eintreten. Hast Du jetzt unendlich viele mögliche Ergebnisse (z.B. Wie weit ein Ball fliegt), dann integrierst Du. Stochastik und Statistik (die Dir in allen Naturwissenschaften und vielen Geisteswissenschaften begegnen wird) sind eine reine Integralorgie. =)
das letzte führt uns zu einer anders aufgezogenen Motivation:
Grenzübergänge bei Summen.
Der Bordcomputer im Auto mißt den Verbrauch jede Sekunde. Jetzt addiert er die ganzen Ergebnisse zusammen und nennt das Ergebnis Gesamtverbrauch.
Mag auch halbwegs korrekt sein, aber bei vielen Anwendungen brauchen wir mehr Genauigkeit, also messen wir jetzt jede halbe Sekunde, viertel, achtel, etc. immer mehr. Irgendwann ist das Ergebnis effektiv ein stetiger Graph und Integrale sind oft extrem viel einfacher zu berechnen als große Summen:
[mm] $\sum_{i=0}^n \frac{i^k}{n}$ [/mm] ist nicht-trivial für fast alle k. das korrespondierende Integral
[mm] $\int_0^1 x^k\ [/mm] dx$ ist es, und für große n ist der Unterschied verschwindend.
-Differentialgleichungen. Eine Differentialgleichung verbindet wiederum Zustand und Änderung. Wenn ich Geld auf der Bank hab, dann folgt das der Gleichung
$x'(t)=r*x(t)$
D.h. um wieviel es sich ändert - die Zinsen $x'$ - hängt davon ab, wieviel ich schon habe - x(t) - mal dem Zinssatz r. (der auch noch vom aktuellen Zeitpunkt abhängt, aber dann wird es kompliziert)
Der eigentliche Lösungsweg hier (Trennung der Variablen) geht wohl etwas zu weit, aber braucht auch Integrale. =P
ciao
Stefan
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