Wann welches K.Kriterium? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend.
Ich frage mich, wie ich wissen soll, welches Konvergenzkriterium sich am besten eignet.
Ist das ganze wirklich Übung oder könnt ihr mir ein paar Tipps geben, wodurch ihr wisst welches Kriterium sich am besten eignet.
Ein Beispiel:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^3-n^2}[/mm]
Hier weiß ich nicht, ob ich das Majorantenkriterium oder das Quotientenkriterium verwenden soll.
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
man schaut das Ding an, wenn man wie hier direkt sieht dass es etwa wie eine Summe ueber [mm] 1/n^2 [/mm] aussieht nimmt man das Majorantenkriterium, wenn es wie 1/n aussieht (staende etwa im Nenner nur [mm] n^2) [/mm] vergleicht man mit summe ueber 1/n Minorantenkriterium. oder man vergleicht mit ner geometrischen Reihem wenn es q`n aehnelt
Wenn man nichts dergleichen sieht: Quotienten oder Wurzelkriterium , mit etwasUebung sieht man schnell, welches schneller geht.
Gruss leduart
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Hallo leduart :)
Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann Leibnizkriterium und wenn ich was mit einer Wurzel bzw. [mm](...)^\bruch{1}{n}[/mm] sehe, dann Wurzelkriterium?
mfg Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lisa,
> Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann
> Leibnizkriterium und wenn ich was mit einer Wurzel bzw.
> [mm](...)^\bruch{1}{n}[/mm] sehe, dann Wurzelkriterium?
Leibnizkriterium ja, Wurzelkriterium nein!
Das Quotientenkriterium ist meist einfacher anzuwenden, und das Wurzelkriterium manchmal, aber nur wenn $n$ im Exponenten steht, nicht $1 [mm] \over [/mm] n$, wie Du geschrieben hast.
Dann ist es für das Majoranten-/Minorantenkriterium ganz hilfreich, absolut konvergente bzw. divergente Reihen zu kennen, wie [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] {1 [mm] \over n^s}\,,$ [/mm] die für $s > 1$ konvergiert und für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergiert, sowie die geometrische Reihe.
Und das war's auch schon.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mo 07.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo Wolfgang :)
> Das Quotientenkriterium ist meist einfacher anzuwenden, und
> das Wurzelkriterium manchmal, aber nur wenn [mm]n[/mm] im Exponenten
> steht, nicht [mm]1 \over n[/mm], wie Du geschrieben hast.
Da hatte ich einen Denkfehler, danke für den Hinweis :)
> Dann ist es für das Majoranten-/Minorantenkriterium ganz
> hilfreich, absolut konvergente bzw. divergente Reihen zu
> kennen, wie [mm]\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^s}\,,[/mm] die für [mm]s > 1[/mm]
> konvergiert und für [mm]s\le 1[/mm] divergiert, sowie die
> geometrische Reihe.
>
> Und das war's auch schon.
Okay, ich übe noch weiter und hoffe, dass ich in der Prüfung die richtige Idee habe :)
Liebe Grüße,
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> Hallo leduart :)
>
> Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann
> Leibnizkriterium
ja, aber auf ALLE Voraussetzungen des Leibnizkriteriums achten. So ist etwa
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$$
[/mm]
ja schon selbst divergent - das Leibnizkriterium kann nicht angewendet
werden - weil?
(Ich wollte nun kein wirklich fieses Beispiel zusammenbasteln, und als
Eselsbrücke für eine Voraussetzung, die im Leibnizkriterium steht, ist
obiges Beispiel doch ideal - insofern, als dass man hier sofort sieht, dass
diese Voraussetzung nicht gegeben ist...)
Gruß,
Marcel
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Hallo marcel und danke, dass du mir hilfst :)
> > Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann
> > Leibnizkriterium
>
> ja, aber auf ALLE Voraussetzungen des Leibnizkriteriums
> achten. So ist etwa
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n[/mm]
> ja schon selbst divergent - das
> Leibnizkriterium kann nicht angewendet
> werden - weil?
Weil es keine monoton fallende/wachsende Nullfolge ist?
Für gerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to 1[/mm]
Für ungerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to -1[/mm]
Hast du das gemeint?
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Di 08.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
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>
> Hallo marcel und danke, dass du mir hilfst :)
>
>
> > > Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann
> > > Leibnizkriterium
> >
> > ja, aber auf ALLE Voraussetzungen des Leibnizkriteriums
> > achten. So ist etwa
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n[/mm]
> > ja schon selbst divergent
> - das
> > Leibnizkriterium kann nicht angewendet
> > werden - weil?
>
> Weil es keine monoton fallende/wachsende Nullfolge ist?
die Antwort ist irgendwie richtig und dennoch falsch: denn Dein "es" ist
falsch.
> Für gerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to 1[/mm]
Du meinst hier [mm] $\red{(}-1\red{)}^n\,,$ [/mm] aucb im nächsten Satz!
> Für
> ungerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to -1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Erstmal sprachliches: Das ist ziemlich salopp gesagt - und inhaltlich ist das
auch richtig, aber wenn man das so bräuchte (was man hier nicht tut),
dann würde man sagen:
"Die Folge ${((-1)^n)_{n \in \IN}$ ist divergent, weil die Teilfolge ${((-1)^{2k-1})}_{k \in \IN}$ gegen $-1\,$ konvergiert (das ist
"die Teilfolge mit den ungeraden $n\,,$ von denen Du oben sprichst), und
weil die Teilfolge ${((-1)^{2k})}_{k \in \IN}$ gegen $1 \not=-1$
konvergiert (das ist nun "die Teilfolge mit den geraden $n\,$")."
(Zudem: Wenn ${(a_n)_n}$ eine Folge ist mit Grenzwert $a_\infty\,$ (stör'
Dich jetzt nicht daran, dass ich hier $a_\infty$ schreibe anstatt, wie Du es
vermutlich gewohnt bist, einfach $a\,$ - ich habe meine Gründe, aber das
ist für Dich jetzt eher nebensächlich an dieser Stelle!) dann sagt man
natürlich nicht, dass der Grenzwert der Folge $\to a_\infty$ gehe.
Sondern er ist $a_\infty\,.$ Die Folge "ist das, was gegen $a_\infty$ geht.")
Nur: Wenn das hier eine vernünftige Begründung wäre, dann dürfte ja
gemäß diesen Argumenten
$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n *\red{\frac{1}{n}}$$
auch nicht konvergieren (denn ${(\blue{(-1)^n}*1/n)}_n$ ist ja auch
keine monoton fallende Nullfolge - sondern eine alternierende Nullfolge...).
Tut sie aber nach Leibniz doch... denn da steht doch
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*\red{a_n}\,,$$
(der Startindex ist eigentlich ziemlich wurscht, ob da nun $n=0\,$ oder
$n=1\,$ unten steht) wovon ${(a_n)}_n$ monoton fallend gegen Null sein
soll - und im Kriterium steht nicht, dass ${((-1)^n*a_n)}_n$ monoton fallend gegen
Null sein solle - denn das wäre auch sehr komisch, denn wenn $a_n \ge 0$ stets gilt,
gibt's ja nicht viele Folgen, die $(-1)^n*a_n \to 0$ in monoton fallender
Weise erfüllen würden ...
Siehst Du den Fehler bei Deinem Argument und kannst Du das korrigieren?
Was ist bei
$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{1}$$
nun nicht monoton fallend gegen $0\,$? (Anders gefragt: Was sind da die $a_n$?)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mi 09.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo nochmal :)
> > > > Okay, und wenn da etwas mit [mm](-1)^n[/mm] steht, dann
> > > > Leibnizkriterium
> > >
> > > ja, aber auf ALLE Voraussetzungen des Leibnizkriteriums
> > > achten. So ist etwa
> > > [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n[/mm]
> > > ja schon selbst
> divergent
> > - das
> > > Leibnizkriterium kann nicht angewendet
> > > werden - weil?
> >
> > Weil es keine monoton fallende/wachsende Nullfolge ist?
>
> die Antwort ist irgendwie richtig und dennoch falsch: denn
> Dein "es" ist
> falsch.
>
> > Für gerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to 1[/mm]
>
> Du meinst hier [mm]\red{(}-1\red{)}^n\,,[/mm] aucb im nächsten
> Satz!
>
> > Für
> > ungerade n ist der Grenzwert von [mm]-1^n \to -1[/mm]
>
> Erstmal sprachliches: Das ist ziemlich salopp gesagt - und
> inhaltlich ist das
> auch richtig, aber wenn man das so bräuchte (was man hier
> nicht tut),
> dann würde man sagen:
> "Die Folge [mm]{((-1)^n)_{n \in \IN}[/mm] ist divergent, weil die
> Teilfolge [mm]{((-1)^{2k-1})}_{k \in \IN}[/mm] gegen [mm]-1\,[/mm]
> konvergiert (das ist
> "die Teilfolge mit den ungeraden [mm]n\,,[/mm] von denen Du oben
> sprichst), und
> weil die Teilfolge [mm]{((-1)^{2k})}_{k \in \IN}[/mm] gegen [mm]1 \not=-1[/mm]
> konvergiert (das ist nun "die Teilfolge mit den geraden
> [mm]n\,[/mm]")."
>
> (Zudem: Wenn [mm]{(a_n)_n}[/mm] eine Folge ist mit Grenzwert
> [mm]a_\infty\,[/mm] (stör'
> Dich jetzt nicht daran, dass ich hier [mm]a_\infty[/mm] schreibe
> anstatt, wie Du es
> vermutlich gewohnt bist, einfach [mm]a\,[/mm] - ich habe meine
> Gründe, aber das
> ist für Dich jetzt eher nebensächlich an dieser Stelle!)
> dann sagt man
> natürlich nicht, dass der Grenzwert der Folge [mm]\to a_\infty[/mm]
> gehe.
> Sondern er ist [mm]a_\infty\,.[/mm] Die Folge "ist das, was gegen
> [mm]a_\infty[/mm] geht.")
>
> Nur: Wenn das hier eine vernünftige Begründung wäre,
> dann dürfte ja
> gemäß diesen Argumenten
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n *\red{\frac{1}{n}}[/mm]
> auch nicht
> konvergieren (denn [mm]{(\blue{(-1)^n}*1/n)}_n[/mm] ist ja auch
> keine monoton fallende Nullfolge - sondern eine
> alternierende Nullfolge...).
> Tut sie aber nach Leibniz doch... denn da steht doch
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*\red{a_n}\,,[/mm]
> (der Startindex ist
> eigentlich ziemlich wurscht, ob da nun [mm]n=0\,[/mm] oder
> [mm]n=1\,[/mm] unten steht) wovon [mm]{(a_n)}_n[/mm] monoton fallend gegen
> Null sein
> soll - und im Kriterium steht nicht, dass [mm]{((-1)^n*a_n)}_n[/mm]
> monoton fallend gegen
> Null sein solle - denn das wäre auch sehr komisch, denn
> wenn [mm]a_n \ge 0[/mm] stets gilt,
> gibt's ja nicht viele Folgen, die [mm](-1)^n*a_n \to 0[/mm] in
> monoton fallender
> Weise erfüllen würden ...
>
> Siehst Du den Fehler bei Deinem Argument und kannst Du das
> korrigieren?
> Was ist bei
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{1}[/mm]
>
> nun nicht monoton fallend gegen [mm]0\,[/mm]? (Anders gefragt: Was
> sind da die [mm]a_n[/mm]?)
Mein Fehler war, dass ich bei der Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n[/mm] dachte das [mm](-1)^n[/mm] sei das [mm]a_n[/mm]. Jedoch ist das [mm]a_n[/mm]bei der gegebenen Reihe die 1. Und weil das eine konstante Folge mit dem Grenzwert 1 ist, kann sie keine Nullfolge sein und daher kann das Leibnizkriterium bei der Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*\red{1}[/mm] nicht angewendet werden.
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> Guten Abend.
>
> Ich frage mich, wie ich wissen soll, welches
> Konvergenzkriterium sich am besten eignet.
> Ist das ganze wirklich Übung oder könnt ihr mir ein paar
> Tipps geben, wodurch ihr wisst welches Kriterium sich am
> besten eignet.
>
> Ein Beispiel:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^3-n^2}[/mm]
>
> Hier weiß ich nicht, ob ich das Majorantenkriterium oder
> das Quotientenkriterium verwenden soll.
wenn man einmal das sogenannte Vergleichskriterium, siehe etwa hier (klick!) - nach
dem ersten P.S., verstanden hat (idealerweise versteht man insbesondere
den zugehörigen Beweis), kann man direkt sagen, dass bei obiger Reihe
das Majorantenkriterium hilft.
Warum? "Für große [mm] $n\,$" [/mm] (was immer das auch heißen möge) sehen Deine
Summanden oben nahezu aus wie [mm] $\tfrac{2n}{n^3}\,,$ [/mm] daher vergleicht
man diese Reihe in naheliegender Weise mit [mm] $\sum 1/n^2$ [/mm] (wobei man
natürlich auch [mm] $\sum C/n^2$ [/mm] mit $C > 0$ hernehmen könnte).
D.h., alleine, wenn Du nur den genannten Satz inhaltlich verstanden hast,
wirst Du bei Aufgaben der obigen Bauart schnell sehen, inwiefern Du mit
Majoranten/Minoranten zum Ziel kommen kannst...und entsprechende
Abschätzungen, so dass die Aufgabe nur mit den Dir zur Verfügung
gestellten Mitteln gelöst wird, werden Dir dann leichter fallen, weil Du
weißt, "wo Du hingehen willst".
P.S. Dass das Quotientenkriterium oben schiefgehen wird, ist eigentlich
relativ klar. Wie sieht denn der zugehörige Quotient aus, den man sich da
anguckt?
Ebenso wird das Wurzelkriterium auch versagen (so grob würde ich sagen,
dass das im Wesentlichen an der Tatsache liegt, dass für jedes feste
$k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass [mm] $\sqrt[n]{n^k} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - und
nebenbei: das Konvergenzverhalten von [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^s$ [/mm]
untersucht man nicht mit Wurzelkriterium, sondern etwa mit dem
Cauchyschen Verdichtungssatz. Wobei man für gewisse [mm] $s\,$ [/mm] und dem
Majoranten-/Minorantenkriterium auch gewisse Ergebnisse erzielen
könnte...).
Gruß,
Marcel
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> Hallo Lisa,
>
> >
> > Guten Abend.
> >
> > Ich frage mich, wie ich wissen soll, welches
> > Konvergenzkriterium sich am besten eignet.
> > Ist das ganze wirklich Übung oder könnt ihr mir ein
> paar
> > Tipps geben, wodurch ihr wisst welches Kriterium sich am
> > besten eignet.
> >
> > Ein Beispiel:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^3-n^2}[/mm]
> >
> > Hier weiß ich nicht, ob ich das Majorantenkriterium oder
> > das Quotientenkriterium verwenden soll.
>
> wenn man einmal das sogenannte Vergleichskriterium, siehe
> etwa hier (klick!)
Danke, das ist noch einmal gutes Material zum Üben :)
-
> nach
> dem ersten P.S., verstanden hat (idealerweise versteht man
> insbesondere
> den zugehörigen Beweis), kann man direkt sagen, dass bei
> obiger Reihe
> das Majorantenkriterium hilft.
>
> Warum? "Für große [mm]n\,[/mm]" (was immer das auch heißen möge)
> sehen Deine
> Summanden oben nahezu aus wie [mm]\tfrac{2n}{n^3}\,,[/mm] daher
> vergleicht
> man diese Reihe in naheliegender Weise mit [mm]\sum 1/n^2[/mm]
> (wobei man
> natürlich auch [mm]\sum C/n^2[/mm] mit [mm]C > 0[/mm] hernehmen könnte).
>
> D.h., alleine, wenn Du nur den genannten Satz inhaltlich
> verstanden hast,
> wirst Du bei Aufgaben der obigen Bauart schnell sehen,
> inwiefern Du mit
> Majoranten/Minoranten zum Ziel kommen kannst...und
> entsprechende
> Abschätzungen, so dass die Aufgabe nur mit den Dir zur
> Verfügung
> gestellten Mitteln gelöst wird, werden Dir dann leichter
> fallen, weil Du
> weißt, "wo Du hingehen willst".
Okay, an das Majorantenkriterium hatte ich auch gedacht, nur wusste ich nicht genau, ob es die beste Lösung sei.
> P.S. Dass das Quotientenkriterium oben schiefgehen wird,
> ist eigentlich
> relativ klar. Wie sieht denn der zugehörige Quotient aus,
> den man sich da
> anguckt?
Meinst du [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] ? Wieso sieht man da schon, dass es schief gehen wird?
> Ebenso wird das Wurzelkriterium auch versagen (so grob
> würde ich sagen,
> dass das im Wesentlichen an der Tatsache liegt, dass für
> jedes feste
> [mm]k \in \IN[/mm] gilt, dass [mm]\sqrt[n]{n^k} \to 1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]
> - und
> nebenbei: das Konvergenzverhalten von [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^s[/mm]
> untersucht man nicht mit Wurzelkriterium, sondern etwa mit
> dem
> Cauchyschen Verdichtungssatz. Wobei man für gewisse [mm]s\,[/mm]
> und dem
> Majoranten-/Minorantenkriterium auch gewisse Ergebnisse
> erzielen
> könnte...).
Ok, den Verdichtungssatz muss ich mir noch anschauen.
Gruß,
Lisa
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Hallo Lisa,
>
>
> > Hallo Lisa,
> >
> > >
> > > Guten Abend.
> > >
> > > Ich frage mich, wie ich wissen soll, welches
> > > Konvergenzkriterium sich am besten eignet.
> > > Ist das ganze wirklich Übung oder könnt ihr mir
> ein
> > paar
> > > Tipps geben, wodurch ihr wisst welches Kriterium sich am
> > > besten eignet.
> > >
> > > Ein Beispiel:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n+3}{n^3-n^2}[/mm]
> > >
> > > Hier weiß ich nicht, ob ich das Majorantenkriterium oder
> > > das Quotientenkriterium verwenden soll.
> >
> > wenn man einmal das sogenannte Vergleichskriterium, siehe
> > etwa hier (klick!)
> Danke,
> das ist noch einmal gutes Material zum Üben :)
> -
> > nach
> > dem ersten P.S., verstanden hat (idealerweise versteht man
> > insbesondere
> > den zugehörigen Beweis), kann man direkt sagen, dass bei
> > obiger Reihe
> > das Majorantenkriterium hilft.
> >
> > Warum? "Für große [mm]n\,[/mm]" (was immer das auch heißen möge)
> > sehen Deine
> > Summanden oben nahezu aus wie [mm]\tfrac{2n}{n^3}\,,[/mm] daher
> > vergleicht
> > man diese Reihe in naheliegender Weise mit [mm]\sum 1/n^2[/mm]
> > (wobei man
> > natürlich auch [mm]\sum C/n^2[/mm] mit [mm]C > 0[/mm] hernehmen könnte).
> >
> > D.h., alleine, wenn Du nur den genannten Satz inhaltlich
> > verstanden hast,
> > wirst Du bei Aufgaben der obigen Bauart schnell sehen,
> > inwiefern Du mit
> > Majoranten/Minoranten zum Ziel kommen kannst...und
> > entsprechende
> > Abschätzungen, so dass die Aufgabe nur mit den Dir zur
> > Verfügung
> > gestellten Mitteln gelöst wird, werden Dir dann leichter
> > fallen, weil Du
> > weißt, "wo Du hingehen willst".
> Okay, an das Majorantenkriterium hatte ich auch gedacht,
> nur wusste ich nicht genau, ob es die beste Lösung sei.
>
> > P.S. Dass das Quotientenkriterium oben schiefgehen wird,
> > ist eigentlich
> > relativ klar. Wie sieht denn der zugehörige Quotient aus,
> > den man sich da
> > anguckt?
> Meinst du [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] ?
Jo
> Wieso sieht man da
> schon, dass es schief gehen wird?
[mm]n^3[/mm] ist die bestimmende Potenz, auch, wenn du [mm](n+1)^3[/mm] nimmst.
Da wird sich im GW von [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] eine 1 ergeben, das hilft nix für die Konvergenzaussage der Reihe
>
> > Ebenso wird das Wurzelkriterium auch versagen (so grob
> > würde ich sagen,
> > dass das im Wesentlichen an der Tatsache liegt, dass
> für
> > jedes feste
> > [mm]k \in \IN[/mm] gilt, dass [mm]\sqrt[n]{n^k} \to 1[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]
> > - und
> > nebenbei: das Konvergenzverhalten von [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^s[/mm]
> > untersucht man nicht mit Wurzelkriterium, sondern etwa mit
> > dem
> > Cauchyschen Verdichtungssatz. Wobei man für gewisse [mm]s\,[/mm]
> > und dem
> > Majoranten-/Minorantenkriterium auch gewisse Ergebnisse
> > erzielen
> > könnte...).
>
> Ok, den Verdichtungssatz muss ich mir noch anschauen.
Gute Idee!
>
> Gruß,
> Lisa
LG
schachuzipus
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