Wann eine Matrix singulär? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Jerhot |
Habe irgendwo eine Definition gefunden, dass eine Matrix singulär ist, falls die Spalten ODER Zeilen lin. abhängig sind, weil beides äquivalent ist.
Mein Bsp.:
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Zeilen offensichtlich abhängig, aber Spalten nicht, oder?
Wie ist es also richtig?
Danke, bin mir sicher, dass sowas hier viele genau wissen....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi,
also erst mal sind auch die Spalten abhängig, denn
$ [mm] \pmat{ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1}^{T} [/mm] $ ist ja gleich [mm] \pmat{0 & 2 & 1 &\\ 3 & 2 & 1\\ 6 & 2 & 1}, [/mm] wenn du die 2te Zeile mal (-2) nimmst und zur dritten Zeile addierst erhälst du [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 & \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & (-2) & (-1)} [/mm] und da siehst du die Abhängigkeit auch gleich schon.
ich kenne Singularität nur mit det (M) = 0, aber die Determinante ist ja genau gleich null, wenn die Zeilen/Spalten abhängig sind, also ist der Satz völlig korrekt.
Da du die Abhängikeit jetzt schon hast, weißt du ja dass die Matrix singlulär ist, zum Vergleich gilt trotzdem:
det(M) = 0*2*1 + 3*2*1 + 2*1*6 - 6*2*1 - 2*1*0 - 3*2*1 = 0+6+12 - 12 - 0 -6 = 0
LG
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Jerhot |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Vielleicht habe kein ich so glückliches Beispiel gewählt...
Ich habe hier eine Anwendung, wo überprüft wird, ob die Spalten einer Matrix linear unabhängig sind und falls ja heisst das dass sie NICHT singulär ist.
Reicht das???
Weil das würde heissen, dass falls die Spalten linear unabhängig, dann auch die Zeilen. Und da bin ich mir nicht sicher...
Weiss jemand wie dass ist?
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Hallo!
> Ich habe hier eine Anwendung, wo überprüft wird, ob die
> Spalten einer Matrix linear unabhängig sind und falls ja
> heisst das dass sie NICHT singulär ist.
>
> Reicht das???
Ja. Wie schon gesagt, wird normalerweise die Singularität definiert, als dass die Determinante =0 ist. Dies wiederum ist äquivalent damit, dass die Zeile oder auch die Spalten linear abhängig sind.
> Weil das würde heissen, dass falls die Spalten linear
> unabhängig, dann auch die Zeilen. Und da bin ich mir nicht
> sicher...
Doch, natürlich stimmt das. Es gilt doch: Zeilenrang=Spaltenrang. Da kannst du Gift drauf nehmen!
Jetzt alles geklärt, oder immer noch Fragen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Jerhot |
OK, bin schon fast überzeugt.
Das würde dann heissen, dass (bei einer 3*3 Matrix) wenn die ersten beiden Zeilen abhängig, dann egal wie die Dritte wähle, werden die Spalten auch abhängig.
Kann man das irgendwie veranschaulichen, warum?
Mein modifiziertes Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 7}
[/mm]
Sehe das wieder nicht, wieso die Spalten abhängig...
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Hallo!
> OK, bin schon fast überzeugt.
Den Rest schaffen wir auch noch! 
> Das würde dann heissen, dass (bei einer 3*3 Matrix) wenn
> die ersten beiden Zeilen abhängig, dann egal wie die Dritte
> wähle, werden die Spalten auch abhängig.
> Kann man das irgendwie veranschaulichen, warum?
Einen Beweis findest du sicher in jedem Lineare-Algebra-Buch. Ob es da anschaulich ist, weiß ich nicht. Ich finde es einfach toll, denn dann kann man sich aussuchen, ob man bei den Zeilen oder bei den Spalten nach Abhängigkeit sucht, und hat es einfach. Da habe ich mich nicht nach einem warum gefragt.
> Mein modifiziertes Beispiel:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 7}[/mm]
>
> Sehe das wieder nicht, wieso die Spalten abhängig...
Man kann so etwas ja auch nicht immer sehen. Aber du kannst doch einfach ein Gleichungssystem aufstellen. Wenn du die Spalten untersuchen willst, dann musst du überprüfen:
[mm] \mu\vektor{1\\2\\0}+\lambda\vektor{1\\2\\3}+\eta\vektor{1\\2\\7}=0
[/mm]
Wenn du als Lösung erhältst: [mm] \mu=\lambda=\eta=0 [/mm] so sind die Vektoren linear unabhänig.
Einfacher ginge es natürlich über die Determinante, aber das willst du ja wohl nicht, denn das folgt ja quasi erst daraus, dass Spaltenrang=Zeilenrang. 
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Jerhot |
Hallo,
erstmal danke, habe nochmal überlegt:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ a & b & c}
[/mm]
Bei einer solchen Matrix ist die Determinante immer Null.
D = 2a + 2b + 2c - 2a - 2b - 2c = 0
Also man sieht es nicht, aber es stimmt doch mit den Zeilen und Spalten...
Die nächste Frage wäre, wieso eine Studentin (also Frau!) noch im Grundstudium so informiert ist...
Aber das gehört nicht mehr zum Thema...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 08.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 7}[/mm]
>
> Sehe das wieder nicht, wieso die Spalten abhängig...
Wenn du dir das Gleichungssystem, das Bastiane aufgestellt hat, dann nochmal anschaust, wirst du feststellen, das es zwei identische Zeilen gibt - also zwei Gleichungen. Insgesamt hast du also weniger Gleichungen 8nämlich nur 2) und drei Unbekannte - das reicht bei linearen natürlich nicht für die eindeutige Lösung: die eine Gleichung ergibt maximal eine Abhängigkeit von den anderen 2, die zweite eine weitere - bleibt immer was übrig.
Aber viele Wege führn nach Rom.
SEcki
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