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| Aufgabe | Für welche a Element der Reellen Zahlen ist die folgende Matrix invertierbar?
[mm] B:=\pmat{ 4 & a \\ 2 & 1 } [/mm] |
So, ich habe echt große Probleme, die Matrix umstellen. Ich zeig echt mal, wie weit ich gekommen bin.
[mm] \pmat{ 4 & a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 } [/mm] Ich rechne die 1. Zeile mal ein Viertel
[mm] \pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 } [/mm] Nun -2*erste Zeile + zweite Zeile
[mm] \pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1-a/2 & -1/2 & 1 } [/mm] Nun multipliziere ich die zweite Zeile mit 2/(2-a)
[mm] \pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(2-a) & 2/(2-a) } [/mm]
Doch nun bekomme ich die erste Zeile in der zweiten Spalten einfach nicht auf 0. Ich hab bestimmt 10 verschiedene Operationen versucht, aber es hat nie geklappt oder ich kam wieder beim Anfangsproblem zurück.
Kann mir einer helfen, wie man diese Matrix weiter umformen kann?
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich hab diese Frage in keinen anderen Forum gestellt
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Hallo TheBozz-mismo,
> Für welche a Element der Reellen Zahlen ist die folgende
> Matrix invertierbar?
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> [mm]B:=\pmat{ 4 & a \\ 2 & 1 }[/mm]
> So, ich habe echt große
> Probleme, die Matrix umstellen. Ich zeig echt mal, wie weit
> ich gekommen bin.
>
> [mm]\pmat{ 4 & a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 }[/mm] Ich rechne die 1.
> Zeile mal ein Viertel
> [mm]\pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 }[/mm] Nun -2*erste
> Zeile + zweite Zeile
> [mm]\pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1-a/2 & -1/2 & 1 }[/mm] Nun
> multipliziere ich die zweite Zeile mit 2/(2-a)
> [mm]\pmat{ 1 & a/4 & 1/4 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(2-a) & 2/(2-a) }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da hast du dir aber einen mühsamen Weg ausgesucht ...
>
> Doch nun bekomme ich die erste Zeile in der zweiten Spalten
> einfach nicht auf 0. Ich hab bestimmt 10 verschiedene
> Operationen versucht, aber es hat nie geklappt oder ich kam
> wieder beim Anfangsproblem zurück.
Addiere das [mm] $-\frac{a}{4}$-fache [/mm] der 2.Zeile auf die 1.Zeile ...
Dann musst du aber noch mal überlegen, für welche reellen a deine Umformungen erlaubt sind, also auch wirklich Invertierbarkeit von A liefern ...
>
> Kann mir einer helfen, wie man diese Matrix weiter umformen
> kann?
Weitaus einfacher und ohne viel Rechnung:
Eine Matrix $A$ ist invertierbar gdw. [mm] $\operatorname{det}(A)\neq [/mm] 0$
Und die Determinante einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix (hier in Abh. von a) ist doch schnell berechnet.
Die Inverse anzugeben, ist ja nicht verlangt.
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
>
> PS:Ich hab diese Frage in keinen anderen Forum gestellt
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für deine Hilfe. Ok, jetzt hab ich es endlich raus.
Ja, ich weiß, dass ich jetzt noch gucken muss, für welche a das gilt.
Die Matrix ist invertierbar für alle reellen Zahlen außer -2, richtig?
Und ja, Determinanten hab ich auch gehört, dass es einfacher ist, aber wir haben das noch nicht in der Vorlesung gemacht und deswegen dürfen wir das auch nicht in der Klausur benutzen und müssen die Matrix umformen.
Nochmals vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Hilfe. Ok, jetzt hab ich es endlich
> raus.
> Ja, ich weiß, dass ich jetzt noch gucken muss, für
> welche a das gilt.
> Die Matrix ist invertierbar für alle reellen Zahlen
> außer -2, richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, für $a=-2$ gibt's kein Problem, aber für $a=+2$ würdest du an einer Stelle durch 0 teilen, das geht nicht.
Setze also mal a=2 in die Ausgangsmatrix ein und versuche, die in die Einheitsmatrix zu überführen ...
>
> Und ja, Determinanten hab ich auch gehört, dass es
> einfacher ist, aber wir haben das noch nicht in der
> Vorlesung gemacht und deswegen dürfen wir das auch nicht
> in der Klausur benutzen und müssen die Matrix umformen.
OK
>
> Nochmals vielen Dank
Gerne
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
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Nochmals vielen Dank, hatte gerade selbst meinen Fehler gesehen
Gruß
TheBozz-mismo
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Sorry, ich meinte für alle reelen Zahlen außer 2, nicht -2!!
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