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| Aufgabe | [mm] A_{0}, A_{1}, [/mm] ... und [mm] B_{0}, B_{1}, [/mm] ... seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] A , P ) mit folgenden Eigenschaften:
1. Die [mm] B_{n} [/mm] bilden eine Partition von [mm] \Omega [/mm] mit:
[mm] P(B_{n}) [/mm] = Poisson-Verteilung (mit [mm] \lambda [/mm] und n)
2. [mm] A_{k} [/mm] besitzen die bedingten Wahrscheinlichkeiten
[mm] P(A_{k} [/mm] | [mm] B_{n})=\begin{cases} Binomialverteilung, & \mbox{für } k \mbox{ =0,1,...,n} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ k>n} \end{cases}
[/mm]
Berechnen sie die unbedingten Wahrscheinlichkeiten von [mm] P(A_{k})
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo,
ersteinmal Entschuldigung das ich nicht alles mit Formeln ausdrücken konnte.
Es handelt sich bei der Poisson-Verteilung und Bernoulli-Verteilung um den Standardfall (nach meinem Buch und anch Wikipedia  ).
Ich Habe bei diese Aufgabe überhaupt keine Ahnung;
Ich weiss nur das die P-Verteilung ein Spezialfall der B-Verteilung ist und das beide diskret sind. Was eine Partition einer Menge ist habe ich mir auch angelesen, nur leider weiss ich jetzt noch nicht wie ich das zeigen soll?!
Ich bin für jeden Hinweis / Hilfe / Ratschlag / whatever dankbar
lg Rene
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 18.05.2008 | | Autor: | herr_rene |
ich bin nochmals die Def von Partition einer Menge durchgegangen;
Demnach sind ja alle [mm] B_{n} [/mm] disjunkt und müssen zusammen [mm] \Omega [/mm] abdecken.
Könnte das der Ansatz sein.
Desweiteren habe ich gerade versucht die bedingte Wahrscheinlichkeit aufzuschreiben mit Bayes, bina ber kläglich gescheitert.
Wie schreibe ich das mit zwei Verteilungen auf?
Rene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 So 18.05.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin herr_rene,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deinen etwas kryptischen Annhamen entnehme ich Folgendes:
[mm] $P(B_n)=\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$
[/mm]
[mm] $P(A_k\mid B_n)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
P(A_k)&=&P(A_k\cap \Omega) \\
&=&\sum_{n=0}^\infty P(A_k\cap B_n) \\
&=&\sum_{n=0}^\infty P(A_k\mid B_n)P(B_n) \\
&=&\sum_{n=0}^\infty\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \\
\end{matrix}
[/mm]
Eine Vereinfachung sehe ich noch nicht, es sei denn, es gibt
Informationen ueber die [mm] $p_n$, [/mm] die du noch nicht mitgeteilst hast.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 18.05.2008 | | Autor: | herr_rene |
hallo,
das $ [mm] P(A_k\mid B_n)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} [/mm] $ ist nicht so ganz richtig; sondern wirklich so wie oben in der Aufgabenstellung angegeben.
Weitere Informationen gibt es leider nicht.
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