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| Aufgabe | In einer Gruppe von 52 Personen sind 17 Raucher. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei beliebiger Auswahl von 5 Personen:
a) weniger als zwei Raucher
b) mehr als zwei Nichtraucher
c) höchstens vier Nichtraucher
d) mindestens 3 Raucher zu erhalten |
Einen schönen Sonntag Nachmittag,
a)
[mm] (\bruch{35}{52})^5+5*\bruch{17}{52}*(\bruch{35}{52})^4
[/mm]
b)
[mm] \vektor{5 \\ 3}(\bruch{35}{52})^3*(\bruch{17}{52})^2+5*(\bruch{35}{52})^4*(\bruch{17}{52})+(\bruch{35}{52})^5
[/mm]
c)
[mm] (\bruch{17}{52})^5+5*(\bruch{17}{52})^4*(\bruch{35}{52})+\vektor{5 \\ 2}(\bruch{17}{52})^3*(\bruch{35}{52})^2+\vektor{5 \\ 3}(\bruch{17}{52})^2*(\bruch{35}{52})^3+5*(\bruch{17}{52})*(\bruch{35}{52})^4
[/mm]
d)
[mm] \vektor{5 \\ 3}(\bruch{17}{52})^3*(\bruch{35}{52})^2+5*(\bruch{17}{52})^4*(\bruch{35}{52})+(\bruch{17}{52})^5
[/mm]
Ich habe so gerechnet, als wenn die "gezogene Person" wieder "zurückgelegt" wird, es wird also immer aus 52 Personen gezogen. Ist das so ok?
Was ist aber, wenn die "gezogene Person" nicht wieder "zurückgelegt" wird, die Aufgabe ist so gestellt, wie ich sie abgeschrieben habe, der Sachverhalt mit oder ohne zurücklegen geht aber aus der Frage nicht hervor, was soll ich machen? Wer hat einen Rat? danke zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 So 15.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In einer Gruppe von 52 Personen sind 17 Raucher. Wie groß
> ist die Wahrscheinlichkeit bei beliebiger Auswahl von 5
> Personen:
> a) weniger als zwei Raucher
> b) mehr als zwei Nichtraucher
> c) höchstens vier Nichtraucher
> d) mindestens 3 Raucher zu erhalten
> Einen schönen Sonntag Nachmittag,
>
> a)
>
> [mm](\bruch{35}{52})^5+5*\bruch{17}{52}*(\bruch{35}{52})^4[/mm]
>
> b)
>
> [mm]\vektor{5 \\ 3}(\bruch{35}{52})^3*(\bruch{17}{52})^2+5*(\bruch{35}{52})^4*(\bruch{17}{52})+(\bruch{35}{52})^5[/mm]
>
> c)
>
> [mm](\bruch{17}{52})^5+5*(\bruch{17}{52})^4*(\bruch{35}{52})+\vektor{5 \\ 2}(\bruch{17}{52})^3*(\bruch{35}{52})^2+\vektor{5 \\ 3}(\bruch{17}{52})^2*(\bruch{35}{52})^3+5*(\bruch{17}{52})*(\bruch{35}{52})^4[/mm]
>
> d)
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> [mm]\vektor{5 \\ 3}(\bruch{17}{52})^3*(\bruch{35}{52})^2+5*(\bruch{17}{52})^4*(\bruch{35}{52})+(\bruch{17}{52})^5[/mm]
>
> Ich habe so gerechnet, als wenn die "gezogene Person"
> wieder "zurückgelegt" wird, es wird also immer aus 52
> Personen gezogen. Ist das so ok?
Dann wäre deine Rechungen korrekt. Ich "fürchte" aber, dass du diese Aufgabe "ohne Zurücklegen" lösen sollst.
Dazu musst du dich dann mal [ulr=http://www.lottozahlenonline.de/gewinnwahrscheinlichkeiten-beim-lotto-6-aus-49.php]an den Lottozahlen[/url] orientieren
Du bekommst also die Formel für k Raucher bei 5 Ziehungen aus 52 Personen, von denen 17 Raucher sind:
[mm] $P(X=k)=\frac{{17\choose k}\cdot{52-17\choose5-k}}{{52\choose5}}$
[/mm]
Berechne nun die Wahrscheinlichkeiten für k=0, k=1, k=2 ...k=5 und addiere dann die in den einzelnen Aufgabenteilen "geforderten" Werte.
> Was ist aber, wenn die "gezogene Person" nicht wieder
> "zurückgelegt" wird, die Aufgabe ist so gestellt, wie ich
> sie abgeschrieben habe, der Sachverhalt mit oder ohne
> zurücklegen geht aber aus der Frage nicht hervor, was soll
> ich machen? Wer hat einen Rat? danke zwinkerlippe
>
>
>
Marius
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Danke Marius, du meinst also, ich soll ohne zurücklegen rechnen, deine Formel kommt mir aber total unbekannt vor, versuche ich es
k=0 bekomme ich 0,12491
k=1 bekomme ich 0,34249
k=2 bekomme ich 0,34249
k=3 bekomme ich 0,15567
k=4 bekomme ich 0,03205
k=5 bekomme ich 0,00238
Stimmen diese Berechnungen? Wie kann ich jetzt weiter machen? Was mir aber komisch vorkommt, die Wasahrscheinlichkeit für 1 und 2 Raucher zu ziehen ist gleich zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
> Danke Marius, du meinst also, ich soll ohne zurücklegen
> rechnen, deine Formel kommt mir aber total unbekannt vor,
> versuche ich es
>
> k=0 bekomme ich 0,12491
>
> k=1 bekomme ich 0,34249
>
> k=2 bekomme ich 0,34249
>
> k=3 bekomme ich 0,15567
>
> k=4 bekomme ich 0,03205
>
> k=5 bekomme ich 0,00238
>
> Stimmen diese Berechnungen? Wie kann ich jetzt weiter
> machen? Was mir aber komisch vorkommt, die
> Wasahrscheinlichkeit für 1 und 2 Raucher zu ziehen ist
Die berechneten Werte stimmen.
Benutze hier jedoch die exakte Darstellung dieser Wahrscheinlichkeiten.
Bsp:
[mm]k=0: \blue{\bruch{341}{2730}} \approx 0,12491[/mm]
Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeiten entsprechend den Aufgabenstellungen.
> gleich zwinkerlippe
>
Gruss
MathePower
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Danke, ich habe jetzt erneut gerechnet
für k=0 bekomme ich [mm] \bruch{341}{2730}
[/mm]
für k=1 bekomme ich [mm] \bruch{187}{546}
[/mm]
für k=2 bekomme ich [mm] \bruch{187}{546}
[/mm]
für k=3 bekomme ich [mm] \bruch{85}{546}
[/mm]
für k=4 bekomme ich [mm] \bruch{5}{78}
[/mm]
für k=5 bekomme ich [mm] \bruch{1}{420}
[/mm]
jetzt die Aufgabe a), weniger als zwei Raucher bedeutet 0 oder 1 Raucher
[mm] \bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}
[/mm]
jetzt die Aufgabe b), mehr als zwei Nichtraucher bedeutet 3, 4 oder 5 Nichtraucher, also 0, 1 oder 2 Raucher
[mm] \bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}
[/mm]
jetzt die Aufgabe c), höchtens vier Nichtraucher bedeutet 0, 1, 2, 3 oder 4 Nichtraucher, also 1, 2, 3, 4 oder 5 Raucher
[mm] \bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}+\bruch{85}{546}+\bruch{5}{78}+\bruch{1}{420}
[/mm]
jetzt die Aufgabe d), mindestens drei Raucher, bedeutet 3, 4 oder 5 Raucher
[mm] \bruch{85}{546}+\bruch{5}{78}+\bruch{1}{420}
[/mm]
stimmen meine Ansätze so? (ohne zurücklegen) dann würde ich noch etwas Bruchrechnung machen danke zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
> Danke, ich habe jetzt erneut gerechnet
>
> für k=0 bekomme ich [mm]\bruch{341}{2730}[/mm]
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> für k=1 bekomme ich [mm]\bruch{187}{546}[/mm]
>
> für k=2 bekomme ich [mm]\bruch{187}{546}[/mm]
>
> für k=3 bekomme ich [mm]\bruch{85}{546}[/mm]
>
> für k=4 bekomme ich [mm]\bruch{5}{78}[/mm]
>
Hier muss doch [mm]\bruch{5}{\blue{156}}[/mm] stehen.
> für k=5 bekomme ich [mm]\bruch{1}{420}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe a), weniger als zwei Raucher bedeutet 0
> oder 1 Raucher
>
> [mm]\bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe b), mehr als zwei Nichtraucher bedeutet
> 3, 4 oder 5 Nichtraucher, also 0, 1 oder 2 Raucher
>
> [mm]\bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe c), höchtens vier Nichtraucher bedeutet
> 0, 1, 2, 3 oder 4 Nichtraucher, also 1, 2, 3, 4 oder 5
> Raucher
>
> [mm]\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}+\bruch{85}{546}+\bruch{5}{78}+\bruch{1}{420}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe d), mindestens drei Raucher, bedeutet 3,
> 4 oder 5 Raucher
>
> [mm]\bruch{85}{546}+\bruch{5}{78}+\bruch{1}{420}[/mm]
>
>
> stimmen meine Ansätze so? (ohne zurücklegen) dann würde
> ich noch etwas Bruchrechnung machen danke zwinkerlippe
>
>
Gruss
MathePower
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Danke du hast recht
für k=0 bekomme ich [mm] \bruch{341}{2730}
[/mm]
für k=1 bekomme ich [mm] \bruch{187}{546} [/mm]
für k=2 bekomme ich [mm] \bruch{187}{546} [/mm]
für k=3 bekomme ich [mm] \bruch{85}{546} [/mm]
für k=4 bekomme ich [mm] \bruch{5}{156} [/mm] habe ich korrigiert
für k=5 bekomme ich [mm] \bruch{1}{420} [/mm]
jetzt die Aufgabe a), weniger als zwei Raucher bedeutet 0 oder 1 Raucher
[mm] \bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}
[/mm]
jetzt die Aufgabe b), mehr als zwei Nichtraucher bedeutet
3, 4 oder 5 Nichtraucher, also 0, 1 oder 2 Raucher
[mm] \bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}
[/mm]
jetzt die Aufgabe c), höchtens vier Nichtraucher bedeutet 0, 1, 2, 3 oder 4 Nichtraucher, also 1, 2, 3, 4 oder 5 Raucher
[mm] \bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}+\bruch{85}{546}+\bruch{5}{156}+\bruch{1}{420}
[/mm]
jetzt die Aufgabe d), mindestens drei Raucher, bedeutet 3, 4 oder 5 Raucher
[mm] \bruch{85}{546}+\bruch{5}{156}+\bruch{1}{420} [/mm]
ist jetzt alles ok, (schön wär's)? danke zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
> Danke du hast recht
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> für k=0 bekomme ich [mm]\bruch{341}{2730}[/mm]
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> für k=1 bekomme ich [mm]\bruch{187}{546}[/mm]
>
> für k=2 bekomme ich [mm]\bruch{187}{546}[/mm]
>
> für k=3 bekomme ich [mm]\bruch{85}{546}[/mm]
>
> für k=4 bekomme ich [mm]\bruch{5}{156}[/mm] habe ich korrigiert
>
> für k=5 bekomme ich [mm]\bruch{1}{420}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe a), weniger als zwei Raucher bedeutet 0
> oder 1 Raucher
>
> [mm]\bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}[/mm]
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> jetzt die Aufgabe b), mehr als zwei Nichtraucher bedeutet
> 3, 4 oder 5 Nichtraucher, also 0, 1 oder 2 Raucher
>
> [mm]\bruch{341}{2730}+\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe c), höchtens vier Nichtraucher bedeutet
> 0, 1, 2, 3 oder 4 Nichtraucher, also 1, 2, 3, 4 oder 5
> Raucher
>
> [mm]\bruch{187}{546}+\bruch{187}{546}+\bruch{85}{546}+\bruch{5}{156}+\bruch{1}{420}[/mm]
>
> jetzt die Aufgabe d), mindestens drei Raucher, bedeutet 3,
> 4 oder 5 Raucher
>
> [mm]\bruch{85}{546}+\bruch{5}{156}+\bruch{1}{420}[/mm]
>
> ist jetzt alles ok, (schön wär's)? danke zwinkerlippe
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Alles ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Danke mathepower für das Kontrollieren der Aufgabe, mich bewegt aber schon seid gestern, folgendes
keinen Raucher ziehen 0,12491
einen oder zwei Raucher ziehen 0,34249
drei Raucher ziehen 0,15568
vier Raucher ziehen 0,03205
fünf Raucher ziehen 0,00238
(ich habe die Wahrscheinlichkeiten in gerundeten Dezimalbrüchen angegeben)
1) Warum ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Raucher zu ziehen kleiner, als einen- oder zwei Raucher zu ziehen? Es wird doch immer unwahrscheinlicher noch einen weiteren- und noch einen weiteren Raucher zu ziehen.
2) Warum ist die Wahrscheinlichkeit einen- oder zwei Raucher zu ziehen gleich? Es ist doch wiederum unwahrscheinlicher, wenn schon ein Raucher gezogen wurde, noch einen zweiten Raucher zu ziehen.
3) Warum ist es wahrscheilicher drei Raucher zu ziehen als keinen Raucher zu ziehen?
Auch wenn mathepower meine korrekten Rechnungen (mit Zurücklegen) bestätigt hat, so sagt mein Gefühl etwas anderes, die Wahrscheinlichkeit sollte immer weiter abnehmen, je mehr Raucher gezogen werden, wer kann mir hierbei helfen, mein Gefühl und die Mathematik in Übereinstimmung zu bringen, danke zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Di 17.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zwinkerlippe,
> keinen Raucher ziehen 0,12491
> einen oder zwei Raucher ziehen 0,34249
> drei Raucher ziehen 0,15568
> vier Raucher ziehen 0,03205
> fünf Raucher ziehen 0,00238
> 1) Warum ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Raucher zu
> ziehen kleiner, als einen- oder zwei Raucher zu ziehen? Es
> wird doch immer unwahrscheinlicher noch einen weiteren- und
> noch einen weiteren Raucher zu ziehen.
> 2) Warum ist die Wahrscheinlichkeit einen- oder zwei
> Raucher zu ziehen gleich? Es ist doch wiederum
> unwahrscheinlicher, wenn schon ein Raucher gezogen wurde,
> noch einen zweiten Raucher zu ziehen.
> 3) Warum ist es wahrscheilicher drei Raucher zu ziehen als
> keinen Raucher zu ziehen?
Knapp jede dritte Person in der Gruppe der 52 Personen ist ein Raucher. Da könnte man (etwas naiv) vermuten, dass auch unter den fünf gezogenen Personen "typischerweise" etwa ein Drittel Raucher sind. Ein Drittel von 5 sind [mm] $1\bruch23$.
[/mm]
Insofern passt es doch ganz gut, dass ein und zwei Raucher die größte Wahrscheinlichkeit besitzen und drei Raucher etwas wahrscheinlicher als gar keine Raucher sind.
Beachte, dass beispielsweise "ein Raucher" ja z.B. nicht bedeutet, dass zuerst ein Raucher gezogen wird (und danach keiner mehr), sondern dass bei irgendeiner der fünf Ziehungen ein Raucher erwischt wird (und bei keiner weiteren).
Viele Grüße
Tobias
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Danke tobit09, du hast mich auf meinen Denkfehler gebracht,
> Beachte, dass beispielsweise "ein Raucher" ja z.B. nicht
> bedeutet, dass zuerst ein Raucher gezogen wird (und danach
> keiner mehr), sondern dass bei irgendeiner der fünf
> Ziehungen ein Raucher erwischt wird (und bei keiner
> weiteren).
Gruß zwinkerlippe
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