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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:36 So 21.08.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Kurz zwei Fragen bezüglich Wahrscheinlichkeitsrechnung:
1. ein Beispiel: eine Zufallsgröße ist Normalverteilt mit gegebener Streuung (10^-1). Gesucht ist die Anzahl der Messungen die nötig sind, damit der Mittelwert der gemessenen Werte um nicht mehr als 10^-3 vom Erwartungswert abweicht.
Lösung: 10^(-1)/n <= 10^(-3) , wobei n die Anzahl der Versuche ist.
Hierbei verstehe ich nicht wie diese Ungleichung zustande kommt. Ich denke dass es irgenwie daran liegen muss, dass der Mittelwert mit zunehmender Anzahl der Versuche immer mehr gegen den EW strebt, aber woher die Formel kommt verstehe ich leider nicht.
2. geg: N(0,1) verteilte Zufallsgröße X; zu zeigen: die Zufallsgröße [mm] X^2 [/mm] ist [mm] X^2 [/mm] - verteilt mit einem Freiheitsgrad.
Also hierbei bin ich folgendermaßen ausgehend von der Normalverteilung vorgegangen:
F(x)= [mm] 1/\wurzel{2\Pi} [/mm] * [mm] \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2}\, [/mm] dt
Hierin substituiere ich t durch [mm] \wurzel{y}, [/mm] somit werden die Grenzen zu [mm] x^2 [/mm] und [mm] \infty
[/mm]
damit habe ich
F(x)= [mm] 1/\wurzel{2\Pi} [/mm] * [mm] \int_{\infty}^{x^2} e^{-y/2}/\wurzel{y}\, [/mm] dy
durch die Setzung y = [mm] x^2 [/mm] wird dies zu
F(y) = [mm] 1/\wurzel{2\Pi} [/mm] * [mm] \int_{\infty}^{y} e^{-t/2}/\wurzel{t}\, [/mm] dt
was das gesuchte Ergebnis sein müßte, jedoch nicht ist, da die Grenzen zwischen 0 und y verlaufen müssten.
Hat jemand einen Tip wo hier mein Fehler liegt, oder ist der ganze Ansatz falsch??
Vielen Dank für jede Hilfe!
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Skydiver!
Es gilt:
[mm] $P(X^2 \le [/mm] x)$
$= [mm] P(-\sqrt{x} \le [/mm] X [mm] \le \sqrt{x})$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} e^{-\frac{t^2}{2}}\, [/mm] dt$
$= [mm] \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{0}^{\sqrt{x}} e^{-\frac{t^2}{2}}\, [/mm] dt$
[Substitution: [mm] $s=t^2$, [/mm] $dt = [mm] \frac{1}{2\sqrt{s}} [/mm] ds$]
$= [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{0}^x \frac{e^{-\frac{s}{2}}}{\sqrt{s}}\, [/mm] ds$,
wie gewünscht. 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Di 23.08.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo Julius!
Besten Dank, wieder einmal, für die Antwort.
Ich verstehe jedoch nicht ganz wie du vom vorletzten zum letzten Schritt kommst. Das Integral von [-x,0] ist doch nicht das selbe wie von [0,x] oder??
mfg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Di 23.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Skydiver!
So, jetzt stimmt's, ich habe es verbessert.
An der Stelle jetzt gilt die Gleichheit, weil der Integrand symmetrisch zur $y$-Achse ist...
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Di 23.08.2005 | | Autor: | Skydiver |
Alles klar, vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Mi 24.08.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Skydiver!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht (vollständig) in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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