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| Aufgabe | | Ein Kasten enthält zwei schwarze, zwei rote und sechs grüne Kugeln. Es werden drei Kugeln nacheinander gezogen. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit drei verschiedene farben zu erhalten, wenn ohne zurücklegen gezogen wird. |
Okay also ich könnte ja jetzt ein Baumdiagramm zeichnen und die ganzen Wahrscheinlichkeiten eintragen, allerdings hab ich gehört, da das viel aufwand ist könnte ich die Aufgaben so ähnlich rechnen wie bernoulli ketten. Ich habs auch bei einer schonmal gemacht und da hat es geklappt, allerdings weiss ich jetzt nicht ob ich das nur bei bestimmten Aufgaben machen kann oder bei dieser auch?!
Hier habe ich es jetzt so versucht:
[mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 1} [/mm] : [mm] \vektor{10 \\ 3} [/mm] = 0,2 also 20 %
wenn ich das aber mit dem Baumdiagramm ausrechne hab ich ja entweder schwarz, rot, grün ;
rot, grün, schwarz;
oder
grün, rot, schwarz
also: srg: [mm] \bruch{2}{10} [/mm] * [mm] \bruch{2}{9}* \bruch{6}{8}
[/mm]
rsg: [mm] \bruch{2}{10} [/mm] * [mm] \bruch{2}{9} [/mm] * [mm] \bruch{6}{8}
[/mm]
grs: [mm] \bruch{6}{10}* \bruch{2}{9} [/mm] * [mm] \bruch{2}{8}
[/mm]
und wenn ich das alles addiere bekomme ich 0,1 raus.
Also kann eins der beiden Ergebnisse bzw einer der beiden Rechenwege doch nciht stimmen oder?
Wäre nett wenn mir schnell jemand helfen könnte! Danke ;)
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Hallo Princesscore,
Dein 2. Ansatz zur Lösung (Pfadregeln) erscheint mir bei dieser Aufgabe am sinnvollsten und auch am einfachsten.
Ich hätte es genauso gelöst, wie du es getan hast.
Anstatt des ganzen Baumes, einfach die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse $\ [mm] P(\{ \omega_{i}\}) [/mm] $ entlang der einzelnen Äste miteinander multipliziert und die Produkte addiert (2. Pfadregel) ist schon richtig.
Ich lass die Antwort mal als "nicht fertig" markiert, da es vielleicht Vorschläge gibt, wie man es vielleicht noch einfacher und effizienter lösen kann.
Lieben Gruß
ChopSuey
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Okay also danke schonmal, das versteh ich dann jetzt und jetzt aber nochwas was ich eben vergessen habe. Muss ich die ergebnisse immer am ende addieren? Oder nur bei bestimmten Sachen?
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Hi 
Du kannst die Ergebnisse selbstverständlich auch stehen lassen, ohne sie am Ende zu addieren. Das hängt natürlich von der Aufgabenstellung ab.
In deinem Fall war es notwendig die 3 Elementarereignisse zu addieren, weil du ja in unterschiedlicher Reihenfolge verschiedenfarbig ziehen kannst.
Die Ergebnisse, die am ende eines jeden Astes (in deinem Baumdiagramm) stehen, sind die sogenannten Elementarereignisse.
All diese Elementarereignisse $\ [mm] P(\{\omega_{i}\}) [/mm] $ addiert ergeben immer 1.
Darum gehts 
Wenn die Wahrscheinlichkeit für die Elementarereignisse, dass alle Kugeln unterschiedlicher Farbe sind, addiert eine Wahrscheinlichkeit von 0,1 ergeben, dann ist das Gegenereignis immer
für ein $\ Ereignis\ A:\ $ Alle gezogenen Kugeln sind unterschiedlicher Farbe
$\ [mm] P(\overline{A}) [/mm] = 1 - [mm] P(\{\omega_{i}\}) [/mm] $
in Deinem Fall also:
$\ [mm] P(\overline{A}) [/mm] = 1 - 0,1 = 0,9 $ (Wahrscheinlichkeit, dass min. 2 Kugeln nicht verschiedenfarbig sind.
Deshalb die 2. Pfadregel
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aber dann gibt es doch eigentlich noch mehr verschiedene reihenfolgen in der ich die Kugeln ziehen kann..also nicht nur srg, rgs und gsr sondern auch noch sgr, grs usw oder?!
Also das verwirrt mich ja jetzt schon wieder ^^ weil da weiss ich ja nie welche ich dafür brauche und wie ich die alle finde ohne nene dreher reinzubringen =/
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Hi,
stimmt natürlich. Du hast recht.
Ich hab nicht nachgesehen, ob du auch wirklich alle Fälle berücksichtigt hast.
Nun, du hast 3 verschiedenfarbige Kugeln in unterschiedlicher Anzahl.
Du ziehst insgesamt 3 mal ohne Zurücklegen und dich interessiert nur die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass alle 3 gezogenen Kugeln unterschiedlicher Farbe sind.
Deine Menge Deiner Elementarereignisse ist
$\ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ sgr, srg, rsg, rgs, grs, gsr \} [/mm] $
Das sind alle möglichen Kombinationen.
Nun musst du für jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit
$\ P [mm] (\{\omega_{i}\})$ [/mm] ermitteln und diese am Ende addieren. (2. Pfadregel)
Die Wahrscheinlichkeit für eines dieser Elementarereignisse erhältst du mit Hilfe der 1. Pfadregel (entlang eines Pfades die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren).
Ich hab vorhin übersehen, dass es mehr als 3 mögliche Fälle gibt, nacheinander unterschiedlich farbig zu ziehen .
Ich bin noch immer der Meinung, die einfachste Lösung besteht darin, es mit den Pfadregeln zu lösen.
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mo 13.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Falls du Angst hast, dass sich beim Bestimmen des Ergenisraums ein Dreher einschleicht, schlag ich vor, immer nach der Reihe zu notieren
$ \ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ sgr, srg, rsg, rgs, grs, gsr \} [/mm] $
erst xyz, xzy, dann weiter mit yxz, yzx usw.
so passiert es seltener, dass du eins der Elementarereignisse vergisst und du kannst es zudem besser Kontrollieren, ob auch alle beisamen sind
Du hast in Deiner Lösung übrigens alles richtig gemacht, nur eben nicht alle Fälle berücksichtigt. Ich hab da leider auch nicht drauf geachtet.
Aber du bist ja von selbst drauf gekommen, wo der Wurm ist.
Ich hoffe ich konnte dir die Verwirrung nehmen.
Es wäre sogar möglich, dass, wenn du deinen Ansatz mit den Produktregeln korrigierst, das selbe Ergenis rauskommt, wie das bei der Bernoulli-Kette der Fall ist.
Am besten nachrechnen und sehen, was passiert. Wenn dem nicht so ist:
Mit den Pfadregeln bist du wie gesagt auf der sicheren Seite (so lange kein Elementarereignis vergessen wird )
Gruß
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