Wahrscheinlichkeitsrechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Di 16.09.2008 | | Autor: | baermart |
| Aufgabe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Folgendes Problem
Bei einem Stadtfest wird eine Tombola durchgeführt. Dazu muss man an einem Glücksrad drehen.
Auf dem Glücksrad gibt es 2 rote, 12 gelbe und 16 schwarze Felder. Beim Drehen eines
roten Feldes gewinnt man einen Hauptpreis, ein gelbes Feld bringt einen Trostpreis und bei schwarz gewinnt man nichts.
Wie viele Haupt- und Trostpreise muss man wahrscheinlich ausgeben, wenn jeder
der 1.250 Besucher dreimal am Glücksrad drehen darf?
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Ist das hier ok, oder anders?
rot = 2/30 = 1/15 = 0,0667 = 6,67%
gelb= 12/30= 6/15 = 0,40 = 40%
schwarz =16/30= 8/15 = 0,53 = 53,33 %
3 x rot bei 3 Versuchen
1/15*1/15*1/15 = 1/3375= 0,0003 * 1.250 Besucher= 0,375 Hauptgewinne also höchstens einer
2x rot bei 3 Versuchen
1/15*1/15*6/15+6/15*1/15*1/15+1/15*6/15*1/15+1/15*1/15*8/15+1/15*8/15*1/15+8/15*1/15*1/15=
6/3375 + 6/3375 + 6/3375 + 8/3375 + 8/3375 + 8/3375 = (18 + 24)/3375 = 42/3375 = 0,0125 x 1250 =15,62 also rund 16 Hauptpreise
1 x rot bei 3 Versuchen
rgs rsg gsr grs srg sgr rss rgg srs grg ssr ggr
1/15*6/15*8/15+1/15*8/15*6/15+6/15*8/15*1/15+6/15*1/15*8/15+8/15*1/15*6/15+8/15*6/15+1/15+1/15*8/15*8/15+
1/15*6/15*6/15+8/15*1/15*8/15+6/15*1/15*6/15+8/15*8/15*1/15+6/15*6/15*1/15=
6*48/3375 + 3*64/3375 + 3*36/3375 = (288 + 192 + 108)/3375 = 588/3375 = 0,1743 * 1250 Besucher =217,87 = 218 HP
1 x rot und 1x Gelb bei 3 Versuchen
rgs rsg gsr grs srg sgr
1/15*6/15*8/15+ 1/15*8/15*6/15+ 6/15*8/15*1/15+6/15*1/15*8/15+ 8/15*1/15*6/15+ 8/15*6/15*1/15 =6* 48/3375 = 288/3375 =
0,0854 * 1250 Besucher =106,75 sind je 107 Haupt und Trostpreise
3 x gelb bei 3 Versuchen
6/15*6/15*6/15 =216/3375 =0,064 * 1250 Besucher = 80 Trostpreise
2 x gelb und 1 x rot bei 3 Versuchen
ggr rgg grg
6/15*6/15*1/15+ 1/15*6/15*6/15+6/15*1/15*6/15= 3*36/3375= 108/3375 = 0,032 * 1250 Besucher =40
sind 80 Trost und 40 Hauptpreise
1 x gelb bei 3 Versuchen
grs gsr rsg rgs srg sgr grr rgr rrg gss sgs ssg
6/15*1/15*8/15+ 6/15*8/15*1/15+ 1/15*8/15*6/15+ 1/15*6/15*8/15+8/15*1/15*6/15+ 8/15*6/15*1/15+ 6/15*1/15*1/15+41/15*6/15*1/15+ 1/15*1/15*6/15+ 6/15*8/15*8/15+ 8/15*6/15*8/15+ 8/15*8/15*8/15 =
6*48/3375 + 3*6/3375 + 3*384/3375 = (288 + 18 + 1152)/3375 = 1458/3375 =0,432
0,432 * 1250 Besucher = 540 Trostpreise
Also wären im Höchstfall 540 Trost und 218 Hauptpreise auszugeben.
Oder andere Berechnung
1250 Besucher*3 Versuche = 3750 Versuche
davon 6,67% Hauptpreis = 250
40% Trostpreis = 1500
Ich habe die Frage in kein anderes Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Di 16.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich weiß ja nicht wie weit ihr die Stochastik schon besprochen habt aber die Aufgabe ist sag ich mal ohne die Binomialverteilung gar nicht so einfach zu beantworten.
Man nimmt die gesamte Anzahl an Drehungen her, das sind n=3750.
Nun definiert man sich eine Zufallsgröße X und zwar eine für jeden Preis. Also erstmal ist X jetzt die Anzahl der Hauptpreise, die bei insgesamt n=3750 Drehungen erdreht werden können. Hier sind aber alle Zahlen von 0 bis 3750 möglich, denn es weiß ja niemand ob nicht bei allen Drehungen kein einziges Mal ein rotes Feld getroffen wird. Genauso ist aber auch 3750 möglich, denn es kann ja sein, das bei allen Drehungen jedesmal ein rotes Feld getroffen wird. Das wäre halt schlecht für den Veranstalter des Spieles!
Da diese Zufallsgröße dann der sog. Binomialverteilung unterliegt, kann man sich einen Erwartungswert kurz E(X) genannt ausrechnen. Dieser Erwartungswert gibt mir die Anzahl der gedrehten roten Felder an mit der ich mit hoher Wahrscheinlichkeit rechnen muss. Dieser berechnet sich bei der Binomialverteilung zu E(X)=n*p, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit eines roten Feldes ist pro Drehung. Also ist hier: [mm] E(X)=3750*\bruch{1}{15}=250
[/mm]
Man muss bei 3750 Drehungen also mit ca. 250 roten Feldern rechnen.
Genauso macht man es mit gelben und schwarzen Feldern.
Man muss aber kräftig aufpassen, weil nicht alles binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung bestimmte Voraussetzungen an die Zufallsvariable gestellt werden müssen.
Oftmals ist genau das das schwierige, für ein Zufallsexperiment eine zugehörige Verteilung zu finden, die den Versuch richtig beschreibt.
Es gibt viele andere Verteilungen bei denen sich der Erwartungswert anders berechnet und die für dieses Experiment auch nicht hergenommen werden können. Man muss sich jedesmal sein Experiment ganz genau ansehen und genau überlegen welchen Vorschriften welcher Verteilung die Zufallsgröße im Experiment gehorcht. Dies ist meistens die größte Schwierigkeit.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 16.09.2008 | | Autor: | baermart |
somit wäre meine 2. Antwort ja richtig gewesen
und es wären 1500 Trostpreise bereit zu halten
1250*3*6/15=1500
oder?
zur Frage wie weit wir mit Storastik sind, sei gesagt das wir das Thema Ende Klasse 8 mit diversen Würfel und Kukelziehexperimenten angerissen haben.
Es war schönes Wetter die Noten standen fest und ich hebe da nicht mehr alles so genau mitbekommen scheint mir manchmal, oder ich mache es mir zu schwer.
Aber deine ERKLÄRUNG IST GUT: DANKE
baermart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 16.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ja, dein zweites Ergenis und auch deine 250 Hauptpreise waren richtig.
Ich dachte nur ich erläutere etwas dazu und hau dir nicht nur das Ergebnis um die Ohren. Kugeln aus einer Urne ziehen und auch Würfelexperimente gehorchen bei bestimmter Definition der Zufallsgröße X übrigens auch der Binomialverteilung.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Di 16.09.2008 | | Autor: | baermart |
danke für die Hilfe, macht echt Spaß hier
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