Wahrscheinlichkeitsrechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sven und Björn üben das Elfmeterschießen, wobei Björn mit 60% Wahrscheinlichkeit ein Tor erzielt und Sven nur mit 40%. Sie vereinbaren einen Wettkampf. Die Elfmeter werden abwechselnd geschossen, wobei Sven beginnen darf und jeder insgesamt höchstens zweimal schießt. Es gewinnt derjenige, welcher den ersten Treffer erzielt.
a) Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?
c) Würde Fabian anstelle von Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit p hat Fabian? |
Hallo Leute,
ich habe echt mein Glück versucht, aber ich bin am verzweifeln. Die Aufgabe ist wahrscheinlich einfach nur ich bin nicht recht gut in Mathe und habe deshalb damit Schwieirgkeiten. Könntet ihr mir helfen und die Rechenschritte erkläre bzw. egebn? Vielen Dank im voraus
Tschüß, Lisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Was hast du denn versucht? :)
Du könntest es so machen:
Du zeichnest dir ein Baumdiagramm, mit allen Möglichkeiten, wie das Spiel zwischen Sven und Björn erstmal ablaufen könnte (das mit Fabian kommt ja dann erst später).
Also in der ersten Stufe des Elfmeterschießens stehen z.B. [mm] S_t [/mm] und [mm] S_v [/mm] (Sven trifft und Sven verfehlt).
Der Weg zu [mm] S_t [/mm] hat immer eine Wahrscheinlichkeit von 0,4 und der Ast zu [mm] S_v [/mm] 0,6.
In der nächsten Stufe gehen wieder 2 Äste von [mm] S_v [/mm] aus, nämlich [mm] B_t [/mm] und [mm] B_v. [/mm] Hier sind die Wahrscheinlichkeiten umgedreht, weil Björn ja zu 60% trifft und zu 40% verfehlt.
Dann gehen von [mm] B_v [/mm] wieder 2 Äste aus mit [mm] S_t [/mm] und [mm] S_v [/mm] und dann kommt man mit der 4. Stufe schon zum Ende, also wieder 2 Äste die von [mm] S_v [/mm] aussgehen und mit [mm] B_t [/mm] und [mm] B_v [/mm] bezeichnet werden.
Es gehen niemals Äste von [mm] S_t [/mm] oder [mm] B_t [/mm] aus, weil das Spiel ja dann vorbei wäre :)
So, nun kannst du mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, mit der die beiden a) ein Tor schießen und sogar b) sie kein Tor schießen, das Spiel also unentschieden ausgeht!
Ich hoffe, dass du die Pfad- & Summenregel kennst! Ansonsten frag nochmal :)
Und nun zu c)
Du könntest fast den alten Baum nochmal verwenden. Du musst ja nur die Sachen von Björn in die Sachen von fabian abändern und bei Sven bleibt ja alles wie gehabt. Statt [mm] B_t [/mm] und [mm] B_v [/mm] schreibst du [mm] F_t [/mm] und [mm] F_v [/mm] und statt 0,6 (wie Wahrschenlichkeit von [mm] B_t [/mm] vorher) schreibst du nun p. p ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fabian trifft, die du ja noch ausrechnen musst. Und die Wahrscheinlichkeit für [mm] F_v [/mm] wird dann 1-p sein, weil ja die Wahrscheinlichkeiten beider Ergebnisse zusammen 1 ergeben müssen.
Vielleicht weißt du ja jetzt, wie du p dann berechnen kannst :)
|
|
|
| |
|
vielen dank für die Hilfe. Ich wäre nicht darauf gekommen. Sag mal ist das überhaupt richtig wie ich es gerechnet habe. Für die Wahrscheinlichkeit, dass Sven trifft habe ich gerechnet: [mm] 0,6mal0,4^2+0,4
[/mm]
und für Bjöen trifft: [mm] 0,6^2+0,6^3mal0,4
[/mm]
für beide unentschieden: [mm] 0,4^2mal0,6^2
[/mm]
für Aufgabe c) Fabian trifft: (1-p) (0,4) (p) +p= [mm] 0,4p-0,4p^2
[/mm]
ist das richtig? Vielen Dank im voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal! Kein Problem :)
a) und b) stimmen! Aber ich würde die Ergebnisse noch vereinfachen.
p("Sven trifft")=0,496
p("Björn trifft")=0,4464
So sieht man schon etwas mehr :)
So, nun zu c)
p("Fabian trifft")=p+(1-p)*0,4p ist auch richtig. Aber hier bist du leider noch nicht ganz fertig! Denn Fabian und Björn sollen ja die selben Gewinnchancen haben.
Also musst du das p ausrechnen!
p("Björn trifft")=p("Fabian trifft")
p+(1-p)*0,4p=0,4464
...
Dann erhälst du 2 Ergebnisse, von denen du aber sicher eins ausschließen kannst :)
Ansonsten super gemacht!
|
|
|
|
