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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Lagru |
| Aufgabe | Es gibt 3 Becher. In Becher A befinden sich 1 weiße und 6 schwarze Kugeln. In becher B befinden sich 2 weiße und 5 schwarze Kugeln. In Becher C 3 weiße und 4 schwarze Kugeln.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Ziehungen mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen (ohne zurücklegen) in den folgenden 3 Situationen:
a) Man wählt einen Becher aus, zieht einmal aus diesem und beim zweiten Versuch aus einem anderen!
b) Man wählt einen Becher aus und zieht 2mal aus diesem!
c) Man mischt alle Kugeln in einem einzigen Becher zusammen und zieht 2mal aus diesem!
Bei welcher dieser 3 Varianten ist die Wahrscheinlichkeit am höchsten mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen?? |
Meine Frage ist folgende, ob ich dieses Beispiel wie folgt korrekt gelöst habe.
Denn bei mir kommt bei jeder Variante mindestens 1 weiße Kugel zu ziehen eine Wahrscheinlichkeit von 50% heraus. Und jetzt würde ich gerne wissen, ob meine Gedankengänge wie folgt richtig waren.
Ich beginne mit der Lösung zu Variante c) alle Kugeln in einem Becher bei 2 maligem ziehen mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen.
c) Ich habe in die Laplace Formel eingesetzt ((M über k) x (N - M über n - k)) / (N über n), wobei ich für k = 0 genommen habe, sprich wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei Ziehungen keine weiße Kugel zu erwischen, da ich ja nur mindestens 1 ziehen muss. Das Ergebnis ist 0,5. Davon die Gegenwahrscheinlichkeit 1-0,5 ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 50% mindestens 1 weiße Kugel zu ziehen.
b) Hier habe ich so wie vorhin im Bsp. c) erklärt mir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Becher berechnet. Dabei komme ich auf folgende Ergebnisse:
Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Zügen mindestens eine weiße Kugel zu erwischen beträgt für Becher A 28,57%, bei B 52,38% und bei C 71,42%.
Da ich aber nicht weiß welchen der drei Becher ich erwische habe ich die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit 0,33 multipliziert ( da die Wahrscheinlichkeit Becher A,B oder C zu erwischen für jeden Becher 33,33..% beträgt) und dann addiert, um so auf die allgemeine Wahrscheinlichkeit zu kommen bei dieser Variante mindestens 1 weiße Kugel zu ziehen.
Hier komme ich ebenfalls auf 50%, also 0,5!
a) Hier habe ich wie bereits in Beispiel c) und b) mir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Becher berechnet, allerdings dieses mal mit nur 1 mal ziehen und nicht 2mal wie bei b)&c), da ich ja zuerst einen Becher wähle und aus dem einmal ziehe und dann einen zweiten und dort noch einmal ziehe.
Die drei Wahrscheinlichkeiten lauten für A 14,28%, B 28,57% und C 42,85%.
Dann habe ich mir folgendes gedacht: Ich weiss jetzt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist pro Becher bei einem Zug mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen. Da ich aber 2 Becher wählen darf, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit und es ergeben sich 3 mögliche Konstellationen: Becher A+B (jeweiligen Wahrscheinlichkeiten addiert ergibt) 42,85%, A+C 57,13% und B+C 71,42%. Da ich aber nicht weiß welche Fallkonstellation eintritt (für jede gibt es eine Wahrscheinlichkeit von 33,33..%), habe ich diese 3 Wahrscheinlichkeiten wieder jeweils mit 0,33 multipliziert und dann addiert und komme wieder auf 50%.
Jetzt ist wie gesagt meine Frage, ob meine Überlegungen richtig sind und es stimmt, dass in allen 3 Varianten die Wahrscheinlichkeit mind. 1 weiße Kugel zu erwischen 50% ist. Mir erscheint es logisch, da sich ja die Grundgesamtheit der Kugeln, wenn man das so sagen kann, im Prinzip in allen 3 Varianten nicht ändert. Aber vielleicht bin ich auch völlig auf dem Holzweg.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Lagru,
> Es gibt 3 Becher. In Becher A befinden sich 1 weiße und 6
> schwarze Kugeln. In becher B befinden sich 2 weiße und 5
> schwarze Kugeln. In Becher C 3 weiße und 4 schwarze Kugeln.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Ziehungen
> mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen (ohne zurücklegen) in
> den folgenden 3 Situationen:
> a) Man wählt einen Becher aus, zieht einmal aus diesem und
> beim zweiten Versuch aus einem anderen!
> b) Man wählt einen Becher aus und zieht 2mal aus diesem!
> c) Man mischt alle Kugeln in einem einzigen Becher
> zusammen und zieht 2mal aus diesem!
> Bei welcher dieser 3 Varianten ist die Wahrscheinlichkeit
> am höchsten mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen??
> Meine Frage ist folgende, ob ich dieses Beispiel wie folgt
> korrekt gelöst habe.
> Denn bei mir kommt bei jeder Variante mindestens 1 weiße
> Kugel zu ziehen eine Wahrscheinlichkeit von 50% heraus. Und
> jetzt würde ich gerne wissen, ob meine Gedankengänge wie
> folgt richtig waren.
> Ich beginne mit der Lösung zu Variante c) alle Kugeln in
> einem Becher bei 2 maligem ziehen mindestens 1 weiße Kugel
> zu erwischen.
> c) Ich habe in die Laplace Formel eingesetzt ((M über k) x
> (N - M über n - k)) / (N über n), wobei ich für k = 0
> genommen habe, sprich wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
> bei zwei Ziehungen keine weiße Kugel zu erwischen, da ich
> ja nur mindestens 1 ziehen muss. Das Ergebnis ist 0,5.
> Davon die Gegenwahrscheinlichkeit 1-0,5 ergibt eine
> Wahrscheinlichkeit von 50% mindestens 1 weiße Kugel zu
> ziehen.
Das hab' ich auch raus!
> b) Hier habe ich so wie vorhin im Bsp. c) erklärt mir
> zuerst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Becher berechnet.
> Dabei komme ich auf folgende Ergebnisse:
> Die Wahrscheinlichkeit bei zwei Zügen mindestens eine
> weiße Kugel zu erwischen beträgt für Becher A 28,57%, bei B
> 52,38% und bei C 71,42%.
> Da ich aber nicht weiß welchen der drei Becher ich
> erwische habe ich die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit
> 0,33 multipliziert ( da die Wahrscheinlichkeit Becher A,B
> oder C zu erwischen für jeden Becher 33,33..% beträgt) und
> dann addiert, um so auf die allgemeine Wahrscheinlichkeit
> zu kommen bei dieser Variante mindestens 1 weiße Kugel zu
> ziehen.
> Hier komme ich ebenfalls auf 50%, also 0,5!
Da musst Du aber genauer sein!
Das Ergebnis ist exakt: 1 - [mm] \bruch{1}{3}*(\bruch{30+20+12}{6*7})
[/mm]
= [mm] \bruch{64}{126} \approx [/mm] 0,5080 = 50,80 %
> a) Hier habe ich wie bereits in Beispiel c) und b) mir
> zuerst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Becher berechnet,
> allerdings dieses mal mit nur 1 mal ziehen und nicht 2mal
> wie bei b)&c), da ich ja zuerst einen Becher wähle und aus
> dem einmal ziehe und dann einen zweiten und dort noch
> einmal ziehe.
> Die drei Wahrscheinlichkeiten lauten für A 14,28%, B
> 28,57% und C 42,85%.
> Dann habe ich mir folgendes gedacht: Ich weiss jetzt wie
> hoch die Wahrscheinlichkeit ist pro Becher bei einem Zug
> mindestens 1 weiße Kugel zu erwischen. Da ich aber 2 Becher
> wählen darf, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit und es
> ergeben sich 3 mögliche Konstellationen: Becher A+B
> (jeweiligen Wahrscheinlichkeiten addiert ergibt) 42,85%,
> A+C 57,13% und B+C 71,42%. Da ich aber nicht weiß welche
> Fallkonstellation eintritt (für jede gibt es eine
> Wahrscheinlichkeit von 33,33..%), habe ich diese 3
> Wahrscheinlichkeiten wieder jeweils mit 0,33 multipliziert
> und dann addiert und komme wieder auf 50%.
Also: Ich hab's mit'm Baum berechnet und vor allem: EXAKT!
Diesmal krieg' ich:
1 - [mm] \bruch{1}{3}*{1}{2}*\bruch{30+24+30+20+24+20}{7*7}
[/mm]
= [mm] \bruch{146}{294} \approx [/mm] 0,4966 = 49,66 %
> Jetzt ist wie gesagt meine Frage, ob meine Überlegungen
> richtig sind und es stimmt, dass in allen 3 Varianten die
> Wahrscheinlichkeit mind. 1 weiße Kugel zu erwischen 50%
> ist. Mir erscheint es logisch, da sich ja die
> Grundgesamtheit der Kugeln, wenn man das so sagen kann, im
> Prinzip in allen 3 Varianten nicht ändert. Aber vielleicht
> bin ich auch völlig auf dem Holzweg.
Naja: Grob gerundet kommt schon immer 50% raus; aber ich glaube nicht, dass die Aufgabe so gemeint ist! Bei exakter Rechnung kommt bei a) etwas weniger und bei b) etwas mehr als 50% raus!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 05.09.2006 | | Autor: | suzi |
Hallo, wie komme ich zu den Zahlen 30 20 12 .. usw. bei den Rechnungen, gibt da eine logische Erklärung dafür? hoffe auf Antwort..
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Hi, suzi,
also ich hab' die Aufgaben mit Hilfe von Baumdiagrammen gelöst, z.B.
Aufgabe b)
1. Verzweigung: A, B, C mit jeweils Zweigwahrsch. [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
2. Verzweigung: jeweils w und s mit den aus dem Text ersichtlichen Wahrscheinlichkeiten, z.B. für A: [mm] \bruch{1}{7} [/mm] für w und [mm] \bruch{6}{7} [/mm] für s.
3. Verzweigung: wieder jeweils w und s (wobei man sich etwas Arbeit ersparen kann, wenn man sich klarmacht, dass man die Aufgabe am besten über das Gegenereignis löst und daher nur die Zweige Ass, Bss und Css interessant sind!)
Zweigwahrscheinlichkeiten: Darauf achten, dass OHNE Z. gezogen wird, daher in jedem Fall nur noch 6 Kugeln in der Urne vorhanden.
Am Ende erhält man:
[mm] P(\overline{E}) [/mm] = P(Ass, Bss, Css) = [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{6}{7}* \bruch{5}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{5}{7}* \bruch{4}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{4}{7}* \bruch{3}{6}
[/mm]
Der Rest ist Umformung durch Bruchrechnen (Ausklammern, Hauptnenner, ...)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:41 Di 05.09.2006 | | Autor: | Lagru |
Hallo!
Danke für das Nachrechnen bzw. die Korrektur.
Habe jetzt die offiziellen Lösungsergebnisse für dieses Bsp. bekommen! c) Ist mit 50% korrekt! bei a) kommen die 49,6% heraus. Aber bei b) sollten es nur 46% sein!! Ich habs jetzt auch noch mal für mich nachgerechnet. Bei a) dürfte ich etwas ungenau gerundet haben. Bei b) komme ich aber nach nochmaligem nachrechnen auch auf die 50,8%. Hat irgendwer eine Ahnung wie man auf die 46% bei b) kommt?? Gibts da irgendwo einen Denkfehler?? Ich hab echt keine Ahnung!! Fällt Euch etwas ein??
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Hi, Lagru,
das mit den 46% kann ich gar nicht glauben!
Lass' es Dir doch "von demjenigen" mal ausführlich vorrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 07.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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