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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Sa 07.01.2006
Autor: Shaker

Aufgabe
In einer Klasse befinden sich 30 Schüler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Schüler am selben Tag Geburtstag haben?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also ich hab es versucht anhand eines Urnenmodells zu rechnen aber bekomm es nicht hin. Hab die Lösung von der Lehrerin bekommen (70.6%) komm aber nicht auf den Rechenweg.

Das Problem ist ich weiss nicht ob ich die Tage ( 365 Tage ) miteinbezíehen muss? Wäre echt klasse wenn jemand helfen könnte! THX
        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Sa 07.01.2006
Autor: Kuebi

Hallo du!

Bei der Aufgabe, die du gestellt bekommen hast, handelt es sich um das klassische Geburtstagsproblem "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Personen mindestens 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben".

> Das Problem ist ich weiss nicht ob ich die Tage ( 365 Tage ) miteinbezíehen muss?

Die 365 Tage müssen hier selbstverständlich miteinbezogen werden.

Nun zur Lösung! Die Wahrscheinlichkeit des Ereignises "min. 2 Pers. am selben Tag geboren (es sei A) errechnet man hier gern mit dem Gegenereignis. Sei [mm] \overline{A} [/mm] das Ereignis "Alle Personen sind an einem anderen Tag geboren".
Die Wahrscheinlichkeit von A P(A) errechnet sich dann zu [mm] 1-P(\overline{A}). [/mm] (Dieser Ansatz ist denke ich klar!)

Wie bekommt man nun [mm] P(\overline{A})? [/mm] Dazu folgender kombinatorischer Ansatz:

Zuerst rechnet man alle Möglichkeiten aus, wie die 30 Personen Geburtstag haben können. Da jede Person ja 365 Möglichkeiten im Jahr hatte geboren zu werden :-), errechnet sich diese Zahl zu [mm] 365^{n}. [/mm]
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, dass alle Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben? Diese Zahl errechnet sich zu  [mm] \bruch{365!}{(365-n)!}. [/mm]
Setzt man die beiden Zahlen nun ins Verhältnis (d.h. Zahl der günstigen Möglichkeiten dividiert durch die Zahl aller Möglichkeiten) erhält man die Wahrscheinlichkeit von  [mm] \overline{A} [/mm] P( [mm] \overline{A}). [/mm]

Alles klar soweit?

Und das eben ausgerechnete musst du eben von 1 subtrahieren um P(A) zu erhalten. In deinem Fall mit n=30 sind das eben 70,6%.

Ein erstaunliches Ergebnis? (Aus diesem Grund wird diese Aufgabe auch als Geburtstagsparadoxon bezeichnet!) ;-)

Dann viel Spaß beim Nachvollziehen und Ausrechnen!

Lg, Kübi
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