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| Aufgabe | Seien A = (0 , 1 [mm] )^3 [/mm] , B ={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} , C= A-B und X [mm] =(X_1 ,X_2 ,X_3) [/mm] eine 3 - Dimensionale Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (omega ,sigma, P) mit Werten in A und
( 3/16 , fals [mm] x\in [/mm] B,
P(X=x)= (
( 1/16 ,fals [mm] x\in [/mm] C.
Außerdem sei I={1,2,3}
(a)Untersuchen Sie, ob [mm] (X_i)_i_\in_I [/mm] paarweise unabhängig ist.
(b)Untersuchen Sie, ob [mm] (X_i)_i_\in_I [/mm] unabhängig ist. |
Ich weiss leider garnicht wie ich an diese aufgabe angehen soll, ich versteh nicht mal die erste zeihle was mit dem [mm] {0,1}^3 [/mm] und so gemeint is,
währe sehr froh wenn jemand mit mir die aufgabe stück für stück durchgehen würde weil ich das endlich mal verstehen will.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 08.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin neo-killer,
leider muss ich mir hier einige Informationen zusammensuchen. Ich
*vermute*, dass [mm] $\Omega=A$ [/mm] ist, [mm] $A=(0,1)^3$ [/mm] ist eine verkuerzte
Schreibweise fuer die Menge [mm] $A=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i=0\mbox{ oder
}1\}$, [/mm] die also acht Elemente hat.
Ich *vermute* ferner, dass [mm] $X\colon\Omega\to\IR^3$ [/mm] durch
[mm] $X(\omega)=\omega$ [/mm] definiert ist. Der Aufgabestellung entnehme ich
danach $P(X=(0,1,1))=3/16$ und $P(X=(0,0,1))=1/16$.
Die Komponenten [mm] $X_i$ [/mm] von $X$ sind ebenfalls Funktionen, genauer
[mm] $X_i\colon\Omega\to\IR$ [/mm] mit [mm] $X_i((x_1,x_2,x_3))=x_i$. [/mm] Jetzt musst du die
Verteilung von [mm] $X_i$ [/mm] bestimmen. Da [mm] $X_i$ [/mm] nur die Werte 0 oder 1 annimmt,
handelt es sich um eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit
[mm] $P(X_i=0)=1-p_i$ [/mm] und [mm] $P(X_i=1)=p_i$.
[/mm]
*Ich* errechne [mm] $P(X_1=0)=1/2$, $P(X_2=0)=1/2$ [/mm] und [mm] $P(X_3=0)=1/2$.
[/mm]
Jetzt musst du noch Verteilungen von [mm] $(X_i,X_j)\colon\Omega\to\IR$ [/mm] mit
[mm] $(X_i,X_j)((x_1,x_2,x_3))=(x_i,x_j)$, [/mm] $i<j$, bestimmen. Fuer [mm] $(X_1,X_2)$
[/mm]
erhalte ich [mm] $P((X_1,X_2)=(0,0))=4/16$, $P((X_1,X_2)=(1,0))=4/16$,
[/mm]
[mm] $P((X_1,X_2)=(0,1))=4/16$ [/mm] und [mm] $P((X_1 ,X_2)=(0,1))=4/16$, [/mm] usw.
Fuer paarweise Unabhaengigkeit musst du ueberpruefen
[mm] $P((X_i,X_j)=(x_r,x_s))=P(X_i=x_r)P(X_j=x_s)$ [/mm] fuer alle $r,s$ und fuer
die Unabhaengigkeit der [mm] $X_1,X_2,X_3$:
[/mm]
[mm] $P((X_1,X_2,X_3)=(x_r,x_s,x_t))=$P(X_1=x_r)P(X_2=x_s)P(X_3=x_t)$.
[/mm]
Frohes Schaffen!
vg Luis
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