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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Steffi20 |
| Aufgabe | Es seien (O=Omega;F;P) und (O'=(Omega)';F´';P')zwei Wahrscheinlichkeitsräume und M [mm] \subset [/mm] O'= (Omega)'.
Zeigen Sie, dass
F' [mm] \cap [/mm] M := [mm] \{B'\cap M : B' \in F'\}eine [/mm] Sigma-Algebra in M ist, die sogenannte Spur-Sigma-Algebra. |
Hallo,
leider habe ich von der Spur-Sigma-Algebra keine Ahnung, daher weiss ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann.
Für einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar.
Grüße
Steffi
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die [mm] Spur-$\sigma$-Algebra [/mm] ist, wie die Aufgabe schon sagt
[mm] $\{B\cap M : B \in \mathcal{F}\},$
[/mm]
wobei wir eine Grundmenge [mm] $\Omega$ [/mm] haben, [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] darauf eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, und [mm] $M\subseteq \Omega$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\Omega$. [/mm] (Denk Dir das ' bei allem dazu, wenn Du willst, macht keinen Unterschied)
Mehr mußt Du über die [mm] Spur-$\sigma$-Algebra [/mm] auch nicht wissen. Du sollst nur nachweisen, daß das durch
[mm] $\{B\cap M : B \in \mathcal{F}\}$
[/mm]
definierte Mengensystem (d.h. eine Menge deren Elemente Mengen sind) eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] mit M als Grundmenge ist. Dafür nimmst Du die Definition einer [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und schaust, ob jede Bedingung der Definition erfüllt ist. Was ist die Definition?
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Steffi20 |
> Hi,
Was
> ist die Definition?
>
> ciao
> Stefan
Hi,
die Definition ist folgende:
1. $ [mm] \Omega [/mm] $ [mm] \in \mathcal{F}\
[/mm]
2. B' [mm] \in \mathcal{F}\
[/mm]
3. B'{1}, B'{2}, [mm] ...\in \mathcal{F}\ [/mm]
Ist das so richtig?
Viele
Grüße
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. Bedenke, daß hier Deine Grundmenge nicht [mm] $\Omega$ [/mm] sondern M ist und Deine (potentielle) [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] nicht [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sondern [mm] $\mathcal{F}\cap [/mm] M$.
2. Bei Deinem 2. und 3. fehlt die Aussage. $B'$ kann ja sicher nicht beliebig sein, denn wenn jede beliebige Menge in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] wäre, dann bräuchten wir keinen neuen Namen dafür. Also 2. und 3. nochmal vollständig. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Steffi20 |
Hi,
die neue Definition ist folgende:
1. M [mm] \in \mathcal{F}\ [/mm] $
2. B $ [mm] \in \mathcal{F}\ $\Rightarrow B^c \in \mathcal{B}, [/mm] wobei [mm] B^c [/mm] = M/B
3. B{1}, B{2}, [mm] ...\in \mathcal{F}\ $\Rightarrow \cup i\ge [/mm] 1 Bi [mm] \in \mathcal{F}\ [/mm]
Ist es jetzt so richtig?
Viele
Grüße
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 05.06.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
fast. [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist schon vergeben, wir betrachten das Mengensystem [mm] $\mathcal{F}\cap [/mm] M$.
> 3. B{1}, B{2}, $ [mm] ...\in \mathcal{F}\ $\Rightarrow \cup i\ge [/mm] $ 1 Bi $ [mm] \in \mathcal{F}\ [/mm] $
Ich behaupte einfach mal, das sollte
[mm] $B_1,B_2,\ldots \in \mathcal{F}\cap [/mm] M\ [mm] \Rightarrow\ \bigcup_{i\in\IN} B_i\ \in\ \mathcal{F}\cap [/mm] M$
sein. =)
Jetzt fangen wir mal mit dem ersten an.
> 1. $M [mm] \in \mathcal{F}\cap [/mm] M$
Was exakt war die Definition von [mm] $\mathcal{F}\cap [/mm] M$ (also Dein [mm] $\mathcal{F}'\cap [/mm] M$. Ich hatte bei allem die ' gestrichen). Und erfüllt M die Definition, ist also in dem Mengensystem?
ciao
Stefan
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