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| Aufgabe | | Geben Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \mu [/mm] auf [mm] \IR [/mm] an, dessen Verteilungsfunktion [mm] F_{\mu} [/mm] in keinem offenen Intervall [mm] \II \supseteq \IR [/mm] stetig ist. |
Puhh, kompliziert die Formeln richtig zu schreiben :D
Hallo zusammen,
leider komme ich nicht auf die Lösung... Eine so ähnliche Aufgabe hatte ich mal mit Tutoren Hilfe gelöst. Da ging es darum das eine Verteilungsfkt in den Stellen x € [mm] \IN [/mm] Unstetigkeitstellen hat und sonst stetig ist. Dort musste man die Gewichte "überlagern" und eine Funktion aus Exponentialverteilung und geometrischer Verteilung mischen.
[mm] X(w)=\begin{cases} Y(w), & \mbox{für } w € \IN \\ Z(w), & \mbox{für } w \not\in \IN \end{cases}
[/mm]
mit P [w € [mm] \IN] [/mm] = P[w [mm] \not\in \IN] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und Y [mm] \sim Exp(\lambda) [/mm] und Z [mm] \sim [/mm] Geo(p)
dann war die Verteilungsfkt. (wieso auch immer... verstehe ich leider auch nicht mehr :/ ) [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = p
Verstehe leider gerade nur Bahnhof... Auch wieso die Verteilungsfkt [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist will mir nicht mehr klar werden...
Kann mir jmd. bitte bitte helfen :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Da ging es darum das eine Verteilungsfkt in den Stellen x
> € [mm]\IN[/mm] Unstetigkeitstellen hat und sonst stetig ist.
Vorweg: Streich mal das € - Zeichen aus deinem Kopf und nutze bitte den Formeleditor. Dort findest du das Element-Zeichen mit Hilfe von \in.
Dann: Ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr das so gelöst habt, denn dann wäre die Verteilungsfunktion ja in jedem Intervall (n,n+1) stetig, wenn es nur Sprünge an den natürlichen Zahlen gäbe.
Also brauchen wir die Sprünge an anderer Stelle. Welche Menge kennst du denn, die zwar gleichmächtig zu [mm] $\IN$ [/mm] ist, im Gegensatz zu [mm] \IN [/mm] aber dicht in [mm] \IR [/mm] liegt?
Gruß,
Gono.
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Ja war wiegesagt eine etwas andere Aufgabe, da ging es um die Sprünge..
Also spontan fällt mir da natürlich nur Q ein :D
Aber
$ [mm] X(w)=\begin{cases} Y(w), & \mbox{für } w \in \IQ \\ Z(w), & \mbox{für } w \not\in \IQ \end{cases} [/mm] $
hilft da ja auch nicht weiter? Müsste man dann wahrscheinlich komplett anders ran oder? Sorry für die € finde es ziemlich schwer mit diesen Formeln... :D
Grüße und Danke!
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Hiho,
> Also spontan fällt mir da natürlich nur Q ein :D
Das ist doch schon einmal ein Anfang.
> Aber
> [mm]X(w)=\begin{cases} Y(w), & \mbox{für } w \in \IQ \\ Z(w), & \mbox{für } w \not\in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> hilft da ja auch nicht weiter?
Du sollst ein Maß angeben, du hantierst hier aber mit Zufallsvariablen rum. Warum mit Kanonen auf Spatzen schießen?
Gib doch einfach mal ein Maß auf [mm] $\IQ$ [/mm] an!
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar und damit kannst du insbesondere einfach ein Maß für jedes [mm] q_i [/mm] angeben.
Was muss denn bei einem W-Maß für [mm] $\summe_{ii=1}^\infty q_i$ [/mm] gelten?
Gruß,
Gono.
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Hi gonozal,
also für ein Wmaß muss gelten das:
(1) $ [mm] P(\Omega [/mm] )=1$ (die Normiertheit) (P2) $ P( [mm] \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ [/mm] für paarweise disjunkte $ [mm] A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ [/mm] ($ [mm] \sigma$-Additivität) [/mm]
dann müsste man zeigen das:
$ [mm] \summe_{ii=1}^\infty P[q_i] [/mm] $ = 1 ist oder? Was ja gegeben istm da P[q] = [mm] \bruch{1}{q} [/mm] wäre
das zweite habe ich keine Ahnung wie man da ran geht bzw. Beweisen kann -.-
:(
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Hiho,
> dann müsste man zeigen das:
> [mm]\summe_{ii=1}^\infty P[q_i][/mm] = 1 ist oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ja gegeben istm da P[q] = [mm]\bruch{1}{q}[/mm] wäre
Wie kommst du jetzt darauf?
Du wählst dir also ein Maß [mm] $\mu$ [/mm] mit [mm] $\mu(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{q_i}$ [/mm] ?
Dass das kein W-Maß ist, sollte dir sofort auffallen, wenn du [mm] $q_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \in \IQ$ [/mm] wählst.
Geh doch mal den anderen Weg:
Kennst du denn eine Folge von [mm] q_i [/mm] für die [mm] $\summe_{k=1}^\infty q_i [/mm] = 1$ gilt?
Gruß,
Gono.
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puh du nimmst mich wirklich hart ran :D
die geometrische Reihe wäre das dann
$ [mm] \summe_{k=1}^\infty q_i [/mm] = 1 $ für q < 1 oder?
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> puh du nimmst mich wirklich hart ran :D
hm..... meinst?
> die geometrische Reihe wäre das dann
> [mm]\summe_{k=1}^\infty q_i = 1[/mm] für q < 1 oder?
Die war mir im Sinn, nur leider ist die nicht für jedes q=1, sondern für welches?
Gruß,
Gono.
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Hiho,
nachdenken, bevor du postest!
Wie lautet denn die geometrische Reihenformel? Für welche q gilt die?
Gruß,
Gono.
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[mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] für |q| < 1
dann müsste q = 0 sein was aber keinen Sinn macht, da dann alles 0 wäre...
ahhhhhhhhhh
verstehe ich einfach nicht wann ...
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Hiho,
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] für |q| < 1
> dann müsste q = 0 sein was aber keinen Sinn macht, da
> dann alles 0 wäre...
> ahhhhhhhhhh
> verstehe ich einfach nicht wann ...
Du hast alles richtig aufgeschrieben und dann doch eine winzige Kleinigkeit übersehen...... schade.
Also du hast recht mit:
[mm]\summe_{i=0}^{\infty} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Nun haben wir aber in der Aufgabe die Summe:
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} q_i[/mm] gehabt und wollten das als geometrische Reihe schreiben, also als
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} q^i = \summe_{i=0}^{\infty} q_i - 1[/mm][/mm]
Und der Ausdruck soll 1 sein, also:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^i [/mm] - 1 = 1 oder
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty} q^i [/mm] = 2$
Welches q erfüllt das?
Gruß,
Gono.
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$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} q^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q_i [/mm] - 1 $ aaaachso... Das mit dem Bereich von 0 und 1 hatte ich gar nicht bemerkt ich dummerle :(
$ [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] $ = 2 => q = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
:D
jetzt haben wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß gebaut oder? Jetzt müsste man noch begründen das es keine stetigen Stellen in [mm] \IR [/mm] hat oder wie?
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Hiho,
> jetzt haben wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß gebaut oder?
Korrekt. Das sieht jetzt wie explizit aus?
> Jetzt müsste man noch begründen das es keine stetigen
> Stellen in [mm]\IR[/mm] hat oder wie?
Sehr gut!
Das ist aber leicht begründet.
Gruß,
Gono.
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Hm also ich verstehe das (ausnahmsweise... :D ) nicht ganz... Die geometrische Verteilung ist ja pi := [mm] q^{i-1}(1-q) [/mm] , ist das dann unser Wahrscheinlichkeitsmaß? Wie sind "wir" da drauf gekommen?
Begründung wieso es keine stetigen Stellen in [mm] \IR [/mm] hat mag leicht sein :D, aaaaaber ich weiss zwar was [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] heisst, nämlich das zwischen r < s [mm] \in \IR [/mm] immer ein q [mm] \in \IQ [/mm] rein passt, als r < q < s aber wieso das nun bei uns so der Fall ist :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Steffi8989 |
hm also so wie ich das verstanden habe musst du nun nur noch sagen das dein q aus [mm] \IQ [/mm] ist und da, wie du schon sagtest, [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt kannst du an diesen Stellen immer eine Unstetigkeit finden. Wie man von $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^i [/mm] $ mit q = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auf die geometrische Verteilung $ p := [mm] q^{i-1}(1-q) [/mm] $ kommt weiss ich leider auch nicht. Aber musst du das überhaupt? Außerdem müsstest du, wie du auch schon weiter oben geschrieben hast zeigen das sie paarweise disjunkt sind, oder?
Aber Gonozal_IX hat mir schon so viel geholfen, er hilft dir sicher auch da noch mal ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Christin90 |
Hey steffi,
danke das du auch noch helfen willst :)
Ich verstehe glaube ich gar nicht genau was ein "Maß" sein soll... Das ist doch die Funktion die jedem "Ereignis" eine Wahrscheinlichkeit zuordnet? z.B. beim Münzwurf mit Kopf oder Zahl wäre das Maß P[K] -> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] P[Z] -> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und P[K,Z] = 1.
Jetzt haben wir ja ein [mm] q_{i} [/mm] genommen mit [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] so dass $ [mm] \summe_{ii=1}^\infty P[q_i] [/mm] $ = 1 aber wieso das nun ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist .... :(
komme einfach gar nicht weiter
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Hiho,
dann wollen wir mal weiter machen:
> Die geometrische Verteilung ist ja pi := [mm]q^{i-1}(1-q)[/mm] , ist das dann unser Wahrscheinlichkeitsmaß?
Nein. Wir haben unser eigenes Maß konstruiert.
Wir hatten ja festgelegt: [mm] $P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^i$
[/mm]
Dein Maß ergibt sich nun über:
$P(A) = [mm] \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\}) [/mm] $
Man nimmt also alle rationale Zahlen in A und addiert ihre Wahrscheinlichkeit auf.
Wenn du nicht siehst, dass das ein Maß auf [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] ist, kannst du es ja mal zur Übung beweisen 
> Begründung wieso es keine stetigen Stellen in [mm]\IR[/mm] hat mag
> leicht sein :D, aaaaaber ich weiss zwar was [mm]\IQ[/mm] dicht in
> [mm]\IR[/mm] heisst, nämlich das zwischen r < s [mm]\in \IR[/mm] immer ein q [mm]\in \IQ[/mm] rein passt, als r < q < s aber wieso das nun bei
> uns so der Fall ist :(
Aufpassen! Wir zeigen NICHT, dass das Maß keine stetigen Stellen hat, das sollst du auch gar nicht zeigen.
Du sollst zeigen, dass es kein Intervall gibt, auf dem das Maß stetig ist. Dazu reicht es, dass es an den rationalen Punkten unstetig ist. Was an den irrationalen passiert, ist uns eigentlich ziemlich egal (und da ist die Verteilungsfunktion sogar stetig).
Dass die Verteilungsfunktion aber an allen rationalen Stellen unstetig ist, kannst du dir sehr leicht überlegen.
Sei [mm] q_i [/mm] eine rationale Zahl. Was passiert denn an [mm] q_i [/mm] mit der Verteilungsfunktion?
Gruß,
Gono.
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hm sorry, ich versteh es einfach nicht :( unser Maß ist nun:
$ P(A) = [mm] \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\}) [/mm] $ ? mit A [mm] \in \IQ [/mm] ? Bin total verwirrt, habe den ganzen Tag gerechnet und nun ist mein Kopf Matsch... noch mehr als vorher :D
Was ist denn unsere Verteilerfunktion? ist das dann eben [mm] \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\}) [/mm] ? Die Wahrscheinlichkeit für ein $ [mm] q_i [/mm] $ aus den rationalen Zahlen wäre ja 0 für ein Intervall aus [mm] \IR [/mm] oder?
hm... du hilfst so viel und ich verstehe trotzdem nichts ;( tut mir echt leid...
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Hiho,
> hm sorry, ich versteh es einfach nicht :( unser Maß ist
> nun:
> [mm]P(A) = \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\})[/mm] ?
Ja!
> mit A [mm]\in \IQ[/mm] ?
Nein! Wo kommen bei einem Maß denn die meßbaren Mengen her? Richtig! Aus einer [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] Und normalerweise verwendet man als [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] \IR [/mm] die Borel-Sigma-Algebra. A ist also eine "Borel-Menge".
> Bin total verwirrt, habe den ganzen Tag gerechnet und nun ist mein Kopf Matsch... noch mehr als vorher :D
Dann mach eine Pause. Für das Zeug musst du fit sein, erst recht, wenn du das noch nicht drauf hast. Also: Geh schlafen und komm morgen wieder
> Was ist denn unsere Verteilerfunktion? ist das dann eben
> [mm]\summe_{q_i \in A} P(\{q_i\})[/mm] ?
Hm, normalerweise ist die Verteilungsfunktion ja definiert als $F(x) = [mm] P\left((-\infty,x]\right)$ [/mm] und damit gilt hier, da [mm] $A=(-\infty,x]$
[/mm]
$F(x) = [mm] \summe_{q_i \in (-\infty,x]} P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \summe_{q_i \le x} P(\{q_i\})$
[/mm]
In Worten: Unsere Verteilungsfunktion an der Stelle x ist also gerade der Wert aller Wahrscheinlichkeiten von [mm] $q_i$'s, [/mm] die kleinergleich x sind.
Uff, Schwere Geburt. Soweit verstanden?
>Die Wahrscheinlichkeit für ein [mm]q_i[/mm] aus den rationalen Zahlen wäre ja 0 für ein Intervall aus [mm]\IR[/mm] oder?
Bei unserem Maß eben gerade nicht!
Beim "normalen" Lebesgue-Maß hättest du recht. Unser Maß "lebt" ja aber nur auf [mm] $\IQ$, [/mm] da ist es eben so, dass alle einelementigen rationalen Zahlen "Gewicht" haben.
> hm... du hilfst so viel und ich verstehe trotzdem nichts ;( tut mir echt leid...
Da hilft wohl nur nacharbeiten.
Gruß,
Gono.
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würde gerne schlafen, leider brauche ich das morgen früh :*(
also wir haben nun ein Wahrscheinlichkeitsmaß über $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} q^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q_i [/mm] - 1 $ die geometrische Reihe "gebaut" welches $ [mm] P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^i [/mm] $ hervorbrachte um die Bedingungen eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zu erfüllen. $ P(A) = [mm] \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\}) [/mm] $ das ist unser fertiges Wahrscheinlichkeitsmaß und für $ [mm] A=(-\infty,x] [/mm] $ ist $ F(x) = [mm] \summe_{q_i \in (-\infty,x]} P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \summe_{q_i \le x} P(\{q_i\}) [/mm] $ unsere Verteilerfunktion.
Nun verstehe ich aber nicht wieso es deshalb in keinem offenen Intervall stetig ist?
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Hiho,
> Nun verstehe ich aber nicht wieso es deshalb in keinem offenen Intervall stetig ist?
Klar sollte dir sein: In jedem offenen Intervall befinden sich rationale Zahlen.
Und nun zeigen wir mal: Die Verteilungsfunktion ist an jeder rationalen Zahl unstetig.
Damit wäre die Verteilungsfunktion in jedem offenen Intervall unstetig. Soweit klar?
Sei nun also q unsere gewählte rationale Zahl, dann gilt für alle x<q
$F(x) = [mm] \summe_{q_i \le x} P(\{q_i\}) \le \summe_{q_i < q} P(\{q_i\})$ [/mm] da x<q
Und: $F(q) = [mm] \summe_{q_i \le q} P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \summe_{q_i < q} P(\{q_i\}) [/mm] + [mm] P(\{q\})$
[/mm]
D.h. F macht an der Stelle q einen Sprung um [mm] P(\{q\}).
[/mm]
D.h. F springt an JEDER rationalen Zahl.
Und Funktionen mit Sprünge sind nun gerade nicht stetig 
Gruß,
Gono.
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ach du bist ein Schatz! Also zumindest habe ich jetzt verstanden auf was das alles hinauslaufen sollte, das "Ende" muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen!
Zusammenfassung wäre dann bzw. kann ich es dann so aufschreiben das es verständlich und vorallem richtig wiedergegeben ist :D
Wahrscheinlichkeitsmaß über $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} q^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} q_i [/mm] - 1 $ die geometrische Reihe "gebaut" welches $ [mm] P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^i [/mm] $ hervorbrachte um die Bedingungen eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zu erfüllen. $ P(A) = [mm] \summe_{q_i \in A} P(\{q_i\}) [/mm] $ das ist unser fertiges Wahrscheinlichkeitsmaß und für $ [mm] A=(-\infty,x] [/mm] $ ist $ F(x) = [mm] \summe_{q_i \in (-\infty,x]} P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \summe_{q_i \le x} P(\{q_i\}) [/mm] $ unsere Verteilerfunktion.
Sei nun also q unsere gewählte rationale Zahl, dann gilt für alle x<q
$ F(x) = [mm] \summe_{q_i \le x} P(\{q_i\}) \le \summe_{q_i < q} P(\{q_i\}) [/mm] $ da x<q
Und: $ F(q) = [mm] \summe_{q_i \le q} P(\{q_i\}) [/mm] = [mm] \summe_{q_i < q} P(\{q_i\}) [/mm] + [mm] P(\{q\}) [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] unstetig an den rationalen Punkten q
[mm] \Rightarrow [/mm] in keinem offenen Intervall stetig!!
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Hiho,
sieht doch schon einmal ganz gut aus.
Frage, zu deinem Verständnis. Was sind denn die [mm] $q_i$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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hmmm -.-
sind das dann die Zufallsvariablen? [mm] P[q_{i}] [/mm] sieht zumindest danach aus :D
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Hiho,
> hmmm -.-
Wenn du das nicht weißt, warum fragst du dann nicht??
> sind das dann die Zufallsvariablen?
Wo sollen denn Zufallsvariablen herkommen??
> [mm]P[q_{i}][/mm] sieht zumindest danach aus :D
Was kann man denn mit einem Maß messen??
[mm] \IQ [/mm] ist abzählbar, was bedeutet das??
Gruß,
Gono.
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wollte dich nicht weiter nerven :(
also abzählbar bedeutet ja das man jeder Zahl aus [mm] \IQ [/mm] eine Zahl aus [mm] \IN [/mm] zuordnen kann. Das Maß ist die Funktion die jedem Wert aus dem Raum eine Wahrscheinlichkeit zuordnet oder so? ... Dann wäre $ [mm] P[q_{i}] [/mm] $ die Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen von [mm] q_{i} [/mm] in A
hm, also ich kann jetzt auch nicht mehr, mein Kopf brummt, werde aber morgen früh nochmal lesen und hoffe das ich es dann irgendwie kapiere :D
Danke danke danke danke für deine mehr als großzügige Hilfe!!
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Hiho,
> wollte dich nicht weiter nerven :(
Tust du nicht. Dann antworte ich einfach nicht, wenn ich keine Lust hab
> also abzählbar bedeutet ja das man jeder Zahl aus [mm]\IQ[/mm] eine Zahl aus [mm]\IN[/mm] zuordnen kann.
Korrekt. Man kann sie also ABZÄHLEN.
Die erste Rationale Zahl, die zweite etc.
Wie die Abzählung genau aussieht, spielt dabei einfach keine Rolle. Und wir nehmen jetzt so eine Abzählung für [mm] $\IQ$, [/mm] d.h. es hat die Form:
[mm] $\IQ [/mm] = [mm] \{q_1,q_2,\ldots\}$.
[/mm]
Die [mm] q_i [/mm] sind also einfach die rationalen Zahlen, wobei [mm] q_i [/mm] eben die i-te rationale Zahl ist.
Und denen wollten wir "Gewichte" geben (und allen anderen Zahlen eben nicht!).
Und darum muss die Summe der [mm] q_i [/mm] (genauer: ihrer Gewichte) eben 1 ergeben, damit es ein W-Maß ist.
> Das Maß ist die Funktion die jedem Wert aus dem Raum eine Wahrscheinlichkeit zuordnet oder so?
Welchem Raum???? Das ist doch die entscheidende Frage.
Momentan palaverst du nur. Aber das Grundverständnis können wir die Tage nochmal erörtern
> Dann wäre [mm]P[q_{i}][/mm] die Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen von [mm]q_{i}[/mm]
Ja.
> hm, also ich kann jetzt auch nicht mehr, mein Kopf brummt,
> werde aber morgen früh nochmal lesen und hoffe das ich es dann irgendwie kapiere :D
Gute Idee. Schlafen hilft ^^
Gruß,
Gono.
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