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| Aufgabe | Sie bauen eine PC-Wasserkühlung. In einem Karton be nden sich 20 Kühlkörper. Fünf davon
sind defekt, ohne dass für Sie erkennbar ist, welche. Sie wählen zufällig einen Kühlkörper
aus und fragen einen Kollegen. Dieser liegt mit seinen Einschätzungen im Mittel in 9 von 10
Fällen richtig. Wenn der Kollege meint, dass Sie ein defektes Gerät haben, legen Sie es beiseite
und wählen zufällig ein anderes aus und bauen es ohne weitere Befragung des Experten ein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ist das Verfahren gut, das heißt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie am Ende einen funktionierenden Kühler eingebaut?
Also für den ersten Schritt muss man ja P(A|B) berechnen, wobei bei Ereignis A der Kühler wirklich ok ist und bei Ereignis B als ok erkannt worden ist.
P(A|B)= [mm] \bruch{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)*P(A)+P(B|A^{c})*P(A^{c})}= \bruch{0,75*0,9}{0,75*0,9+0,25*0,1}=0,96
[/mm]
Stimmt es denn?
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Ich denke, daß es noch eine dritte Stufe gibt, wenn nämlich der Kollege ein Gerät für defekt hält.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Also müsste ich 3/4*9/10+3/4*1/10*14/19+1/4*9/10*15/19 = 69/76 rechnen?
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Ich würde sagen: Ja. Oder wie sollte man die Aufgabe sonst verstehen? Ich entnehme dem Aufgabentext jedenfalls nicht, daß eine bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht ist.
EDIT
Ich glaube, daß ich einen Denkfehler in meiner Lösung habe. Aus der Tatsache, daß der Kollege in 90 % der Fälle richtig entscheidet, kann man ja nicht schließen, daß er in 90 % der Fälle, wo das Gerät defekt, und in 90 % der Fälle, wo das Gerät intakt ist, richtig entscheidet. Ich habe daher den Baum abgeändert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daß der Kollege in 90 % der Fälle richtig entscheidet, wird jetzt durch die Gleichung
[mm]\frac{1}{4} p + \frac{3}{4} (1-q) = \frac{9}{10}[/mm]
wiedergegeben. Diese ist äquivalent zu
(*) [mm]5p - 15q = 3[/mm]
Trägt man sich in ein kartesisches [mm]pq[/mm]-Koordinatensystem die zugehörige Gerade ein, so erkennt man, daß [mm]\frac{3}{5} \leq p \leq 1[/mm] und [mm]0 \leq q \leq \frac{2}{15}[/mm] gelten müssen, denn es müssen ja [mm]p,q \in [0,1][/mm] sein.
Die Wahrscheinlichkeit [mm]r[/mm], daß am Ende ein intaktes Gerät installiert ist, kann ansonsten wie bisher berechnet werden. Man erhält einen Term in Abhängigkeit von [mm]p,q[/mm]. Eine der Variablen kann mittels (*) eliminiert werden. Und jetzt muß man das Minimum dieses Ausdrucks suchen. Das gibt einem die Mindestwahrscheinlichkeit für [mm]r[/mm] an.
Oder wie könnte die Aufgabe sonst gehen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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