Wahrscheinlichkeitsberechnung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 05.03.2006 | | Autor: | Lis |
| Aufgabe | Eine Verkehrsgesellschaft kennt das Fahrscheinverhalten der Fahrgäste: 35% besitzen einen Einzelfahrschein; 60% können eine Zeitkarte vorweisen; 5% sind Schwarzfahrer.
1.1: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der Erieignisse:
A: Unter 20 Fahrgästen befindet sich genau ein Schwarzfahrer
B: Bei 37 kontrollierten Personen werden mindestens 2 Schwarzfahrer
angetroffen.
C: Unter 30 Fahrgästen haben 20 Personen eine Zeitkarte und 10
Personen einen Einzelfahrschein
1.2: Ein Kontrolleur überprüft 50 Fahrgäste. Mit welcher Wahrscheinlichkeit können mindestens 28 und höchstens 32 davonZeitkarten vorweisen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft der Kontrolleur auf zwei oder drei Schwarzfahrer?
Wie viele Fahrgäste müsste er mindestens kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens einen Schwarzfahrer zu erwischen?
Nutze als Hilfe die Bnomialverteilung für n=50 |
Für 1.1 A habe ich herausbekommen, dass die Wahrscheinlichkeit 0,95 beträgt. Meine Rechnung: (1 über 0)*(19 über 1) durch (20 über 1)
Bei B habe ich eine Wahrscheinlichkeit von 0,893 errechnet. Allerdings bin ich mir schon hier nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig ist.
(2 über 0) *(35 über 2) durch (37 über 2) War mehr geraten als gewusst.
Bei C weiß ich, dass ich beide Möglichkeiten irgendwie zusammenrechnen muss, um ein Ergebnis zu bekommen, aber wie, weiß ich leider nicht.
Bei 1.2 muss ich mit Hilfe der Binomialverteilung vorgehen. Eigentlich würde ich das Gegenereignis von p=0,6, also q=0,4 nehmen. Also 1- P(X=28)+P(X=32) ich komme da auf ein Ergebnis von 0,97... Kann das sein?
Bei der nächsten Aufgabe bin ich ähnlich vorgegangen, war aber ein wenig verwundert, dass bei der Binomialverteilung bei p=0,05 für X=2 ein höherer Wert stand, als bei X=1 und X=3.
Und bei der letzten Aufgabe hatte ich insoweit eine Idee, als dass, wenn mindestens 0,8 Schwarzfahrer sein sollen, das Gegenereignis demnach 0,2 sein muss. Also muss ich auch q=0,95 voraussetzen. Dann würde ich [mm] 0,95^n<=0,2 [/mm] berechnen, um dann eine Lösung zu erhalten.
Ich hoffe mir kann jemand helfen, denn von dieser Aufgabe hängt meine Matheabschlussnote ab.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.onlinemathe.de
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Aufgabe 1.1A: typischer Fall für die geometrische Verteilung:
[mm] $\vektor{20\\1}\underbrace{0,05}_{P(Schwarzfahrer)}*\underbrace{0,95^{19}}_{P(nicht Schwarzfaherer)} \approx [/mm] 0,38$
denn die Verteilungsfkt der geometrischen Verteilung ist [mm] $\vektor{k\\n}*p^k*(1-p)^{n-k}$
[/mm]
(hab den Binomialkoeffizienten glatt in der Formel vergessen, tut mir leid!)
Aufgabe 1.1.B:
P("mindestens 2 Schwarzfaherer)=P("höchstens 8 Fahrkartenbesitzer")=
=$ [mm] \summe_{i=0}^{8}b(37;0,95;i)$
[/mm]
(nach wie vor richtig!)
Nachschlagen im Tafelwerk, hab grade keines da
Aufgabe 1.1.C:
Scharfes Hinsehen ergibt: Es haben genau 20 Personen eine Zeitkarte und genau 10 Personen einen Einzelfahrschein, genau deshalb weil es sonst ja mehr als 30 Personen wären.
P(20 Zeitkarten,10 [mm] Einzelkarten)=$\underbrace{0,6^{20}}_{Zeitkarten}*\underbrace{0,35^{10}}_{Einzelfahrscheine}\approx 1,0*10^{-9}$
[/mm]
Aufgabe 1.2:
P(27<#Zeitkarten<33)= [mm] \summe_{i=28}^{32}b(50;0,6;i)
[/mm]
Das kann man aber nicht im Tafelwerk so nachschauen, deshalb stellt man die Summe anders dar:
[mm] \summe_{i=28}^{32}b(50;0,6;i)=\summe_{i=0}^{32}b(50;0,6;i)-\summe_{i=0}^{27}b(50;0,6;i)
[/mm]
nachschlagen im Tafelwerk und Werte einsetzen
[mm] P(1<#Schwarzfaherer<4)=$\summe_{i=2}^{3}b(50;0,05;i)$
[/mm]
Selbes Spiel wie vorher damit man den Wert nachschlagen kann:
[mm] $\summe_{i=2}^{3}b(50;0,05;i)=\summe_{i=0}^{3}b(50;0,05;i)-\summe_{i=0}^{1}b(50;0,05;i)$
[/mm]
nachschlagen im Tafelwerk und Werte einsetzen
3-mindest-Aufgabe:
P("mindestens 1 Schwarzfaher")>0,8
<=>P("kein Schwarzfaherer")<0,2
P("kein [mm] Schwarzfaherer")=0,95^{n}
[/mm]
=> [mm] $0,95^{n}<0,2 [/mm] |ln(.)$
$n*ln(0.95)<ln(0,2)|:ln(0,95)$ (negativ, daher Signumwechsel!)
$n> [mm] \frac{ln(0,2)}{ln(0,95)}$
[/mm]
$n>31,3772$, mit [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] folgt
Der Kontrolleur muss mindestens 32 Personen kontrollieren
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Hallo Nachtwächter,
> Aufgabe 1.1.B:
> P("mindestens 2 Schwarzfaherer)=P("höchstens 8
> Fahrkartenbesitzer")=
> =[mm] \summe_{i=0}^{8}b(37;0,95;i)[/mm]
Die Aufgabe war eigentlich eine andere. Ich würde
1- P("genau 1 Schwarzfahrer) -P("kein Schwarzfahrer")
vorschlagen. Das Ganze also über das gegenteilige Ereignis lösen.
> Nachschlagen im Tafelwerk, hab grade keines da
>
> Aufgabe 1.1.C:
> Scharfes Hinsehen ergibt: Es haben genau 20 Personen eine
> Zeitkarte und genau 10 Personen einen Einzelfahrschein,
> genau deshalb weil es sonst ja mehr als 30 Personen wären.
>
> P(20 Zeitkarten,10
> Einzelkarten)=[mm]\underbrace{0,6^{20}}_{Zeitkarten}*\underbrace{0,35^{10}}_{Einzelfahrscheine}\approx 1,0*10^{-9}[/mm]
Hier sollte wohl nch mit den Möglichkeiten multipliziert werden aus 30 Personen 10 auszuwählen da die reihenfolge ja egal ist oder?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Di 14.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo zusammen,
auch die erste Aufgabe scheint mir falsch zu sein, denn die Wahrscheinlichkeit,
dass es in einer Gruppe aus $20$ Personen genau $1$ Schwarzfaher gibt,
wenn durchschnittlich jeder $20.$ Fahrgast einer ist, berechnet sich durch:
$P(X=1)= [mm] \vektor{20 \\ 1}*0,05^1*0,95^{19}\approx [/mm] 0,3774$
Bei der B) ist der gleiche Ansatz möglich:
$P(X [mm] \ge [/mm] 2)=1-P(X [mm] \le1)=1- \summe_{k=0}^{1}\vektor{37 \\ k}*0,05^k*0,95^{37-k}\approx [/mm] 0,5582$
Gruß
Nicolas
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> Hallo Nachtwächter,
> > Aufgabe 1.1.B:
> > P("mindestens 2 Schwarzfaherer)=P("höchstens 8
> > Fahrkartenbesitzer")=
> > =[mm] \summe_{i=0}^{8}b(37;0,95;i)[/mm]
> Die Aufgabe war
> eigentlich eine andere. Ich würde
OK, (wie kam ich nur auf 10 statt 35?), allerdings ändert das nichts am Prinzip.
> 1- P("genau 1 Schwarzfahrer) -P("kein Schwarzfahrer")
> vorschlagen. Das Ganze also über das gegenteilige Ereignis
> lösen.
> > Nachschlagen im Tafelwerk, hab grade keines da
> >
> > Aufgabe 1.1.C:
> > Scharfes Hinsehen ergibt: Es haben genau 20 Personen
> eine
> > Zeitkarte und genau 10 Personen einen Einzelfahrschein,
> > genau deshalb weil es sonst ja mehr als 30 Personen wären.
> >
> > P(20 Zeitkarten,10
> >
> Einzelkarten)=[mm]\underbrace{0,6^{20}}_{Zeitkarten}*\underbrace{0,35^{10}}_{Einzelfahrscheine}\approx 1,0*10^{-9}[/mm]
>
> Hier sollte wohl nch mit den Möglichkeiten multipliziert
> werden aus 30 Personen 10 auszuwählen da die reihenfolge
> ja egal ist oder?
Warum sollte hier die Reihenfolge eine Rolle spielen? Wieso das die WSKT verändern? Es ist ja nicht nach Laplace mit [mm] $\frac{günstige}{mögliche}$ [/mm] ausgerechnet.
> gruß
> mathemaduenn
Vielen Dank für die Verbesserungsvorschläge
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Hallo Nachtwächter,
Du kannst Dir ja den Ereignisbaum für 3 Leute aufschreiben. Dort kann man dann die Wkt. eines einzelnen Pfades durch einen Produktansatz lösen. Du wirst aber auch sehen das es mehrere Pfade für das Ereignis "2 Zeitkartenbesitzer und 1 Einzelfahrscheinbesitzer" gibt.
Im Übrigen muß es wohl Binomialverteilung heißen.
viele Grüße
mathemaduenn
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