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| Aufgabe | 1) Die erste Reihe in Hörsaal 1 hat n Plätze, auf die sich [mm]m \leq n/2[/mm] Studenten setzen. Wie groß ist bei rein zufälliger Wahl die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei Studierenden nebeneinander sitzen? Zählen Sie ab, indem Sie zunächst m Personen auf nur n-m+1 Plätze setzen und dann m-1 leere Plätze hinzufügen.
2) Sie möchten Fußball spielen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus [mm]n>45[/mm] Personen 4 Mannschaften à 11 Personen und einen Schiedsrichter auszuwählen? |
Hallo zusammen,
hier einmal meine Lösungsansätze, die ich Euch bitte zu kommentieren um mich auf den richtigen Weg zu leiten:
1)
Hier habe ich die m Personen erstmal auf n-m+1 Plätze verteilt, wie von der Aufgabe nahegelegt:
Urnenmodell: Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen
[mm]\Omega = \{(\omega_1, \dots, \omega_n), \omega_i \neq \omega_j, i \neq j, i \in \{1,\dots,n\}\}[/mm]
[mm]|\Omega| = \frac{m!}{(m-(n-m+1))!} = \frac{m!}{(2m-n-1)!}[/mm]
[mm]p(\omega) = \frac{1}{\frac{m!}{(2m-n-1)!}} = \frac{(2m-n-1)!}{m!} \quad \forall \omega \in \Omega[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der n Plätze belegt wird, beträgt also [mm]\frac{(2m-n-1)!}{m!}[/mm]. Das gilt aufgrund der verwedeten Gleichverteilung für jeden der n Plätze.
Allerdings erhalte ich dadurch bspw. für m=2, n=4 im Zähler einen negativen Wert, was (natürlich) nicht sein darf.
Wo liegt hier mein Fehler? Und wie soll ich (m-1) leere Plätze hinzufügen?
2)
Urnenmodell: Ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen
Einen Wahrscheinlichkeitsraum muss ich hier ja nicht aufstellen, da nicht nach einer Wahrscheinlichkeit gefragt ist.
Die Kugeln in meiner Urne sind die n Personen und ich möchte vier Mal 11 von ihnen ziehen (ohne Zurücklegen, da sie ja nicht in zwei oder mehr Teams gleichzeitig mitspielen können.)
Also wäre mein Ansatz hier:
[mm]{{n \choose 1}} + {{(n-1) \choose 11}} + {{(n-12) \choose 11}} + {{(n-23) \choose 11}} + {{(n-34) \choose 11}} [/mm]
Als erstes wähle ich also aus den n Personen einen Schiedsrichter aus – dann bleiben noch n-1 Personen übrig, aus denen ich die erste Mannschaft bilde. Danach sind noch n-11-1 = n-12 Personen übrig, aus denen ich die zweite Mannschaft bilde usw.
Vielen Dank für Eure Bemühungen.
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Hallo,
> 1) Die erste Reihe in Hörsaal 1 hat n Plätze, auf die
> sich [mm]m \leq n/2[/mm] Studenten setzen. Wie groß ist bei rein
> zufälliger Wahl die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei
> Studierenden nebeneinander sitzen? Zählen Sie ab, indem
> Sie zunächst m Personen auf nur n-m+1 Plätze setzen und
> dann m-1 leere Plätze hinzufügen.
>
> 2) Sie möchten Fußball spielen. Wie viele Möglichkeiten
> gibt es, aus [mm]n>45[/mm] Personen 4 Mannschaften à 11 Personen
> und einen Schiedsrichter auszuwählen?
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> Hallo zusammen,
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> hier einmal meine Lösungsansätze, die ich Euch bitte zu
> kommentieren um mich auf den richtigen Weg zu leiten:
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> 1)
> Hier habe ich die m Personen erstmal auf n-m+1 Plätze
> verteilt, wie von der Aufgabe nahegelegt:
>
> Urnenmodell: Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen
>
> [mm]\Omega = \{(\omega_1, \dots, \omega_n), \omega_i \neq \omega_j, i \neq j, i \in \{1,\dots,n\}\}[/mm]
>
> [mm]|\Omega| = \frac{m!}{(m-(n-m+1))!} = \frac{m!}{(2m-n-1)!}[/mm]
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> [mm]p(\omega) = \frac{1}{\frac{m!}{(2m-n-1)!}} = \frac{(2m-n-1)!}{m!} \quad \forall \omega \in \Omega[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der n Plätze belegt
> wird, beträgt also [mm]\frac{(2m-n-1)!}{m!}[/mm]. Das gilt
> aufgrund der verwedeten Gleichverteilung für jeden der n
> Plätze.
>
> Allerdings erhalte ich dadurch bspw. für m=2, n=4 im
> Zähler einen negativen Wert, was (natürlich) nicht sein
> darf.
>
> Wo liegt hier mein Fehler? Und wie soll ich (m-1) leere
> Plätze hinzufügen?
Das ist schwer zu sagen, weil man (also zumindest ich) deinen Ansatz nicht nachvollziehen kann. Die m Studenten zufällig auf n-m+1 Plätzen zu verteilen funktioneirt natürlich per Binomialkoeffizient, und bei den m-1 leeren Plätzen geht es ebenso. Ich erhalte damit ein vernünftiges Resultat, ich kann aber bei dir beim besten Willen nicht deine Grundüberlegung erkennen.
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> 2)
> Urnenmodell: Ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen
>
> Einen Wahrscheinlichkeitsraum muss ich hier ja nicht
> aufstellen, da nicht nach einer Wahrscheinlichkeit gefragt
> ist.
>
> Die Kugeln in meiner Urne sind die n Personen und ich
> möchte vier Mal 11 von ihnen ziehen (ohne Zurücklegen, da
> sie ja nicht in zwei oder mehr Teams gleichzeitig
> mitspielen können.)
>
> Also wäre mein Ansatz hier:
>
> [mm]{{n \choose 1}} + {{(n-1) \choose 11}} + {{(n-12) \choose 11}} + {{(n-23) \choose 11}} + {{(n-34) \choose 11}}[/mm]
>
> Als erstes wähle ich also aus den n Personen einen
> Schiedsrichter aus – dann bleiben noch n-1 Personen
> übrig, aus denen ich die erste Mannschaft bilde. Danach
> sind noch n-11-1 = n-12 Personen übrig, aus denen ich die
> zweite Mannschaft bilde usw.
Das ist alles schön und gut, bis auf die Tatsache, dass man die verschiedenen Anzahlen multiplizieren muss und n=45 bekannt ist...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Diophant,
danke für Deine Antwort.
> > Also wäre mein Ansatz hier:
> >
> > [mm]{{n \choose 1}} + {{(n-1) \choose 11}} + {{(n-12) \choose 11}} + {{(n-23) \choose 11}} + {{(n-34) \choose 11}}[/mm]
>
> >
> > Als erstes wähle ich also aus den n Personen einen
> > Schiedsrichter aus – dann bleiben noch n-1 Personen
> > übrig, aus denen ich die erste Mannschaft bilde.
> Danach
> > sind noch n-11-1 = n-12 Personen übrig, aus denen ich
> die
> > zweite Mannschaft bilde usw.
>
> Das ist alles schön und gut, bis auf die Tatsache, dass
> man die verschiedenen Anzahlen multiplizieren muss und n=45
> bekannt ist...
>
Bezüglich der Multiplikation hast Du wohl recht, allerdings ist n größer als 45 und nicht gleich 45. Daher muss n hier variabel bleiben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Bezüglich der Multiplikation hast Du wohl recht,
> allerdings ist n größer als 45 und nicht gleich 45. Daher
> muss n hier variabel bleiben.
Ja, das hatte ich überlesen, sorry.
Gruß, Diophant
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