Wahrscheinlichkeit Verteilung < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 09.04.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | In einem Teig sind 10 Rosinen. Aus dem Teig werden 10 Semmeln gebacken und eine Semmel wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese genau 2 Rosinen enthält? |
Hallo,
Ich wollte die Wahrscheinlichkeit nach dem Laplace-Eperiment bestimmen: p = [mm] \bruch{Anzahl guenstiger Faelle}{Alle moeglichen Faelle}.
[/mm]
Alle Permutationen für die 10 Rosinen sind. 10! = 3628800
Die Anzahl der Permutationen ohne 2 Rosinen in einer Semmel sin: [mm] 10!(\bruch{1}{2!}-\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}-\bruch{1}{5!}+\bruch{1}{6!}-\bruch{1}{7!}+\bruch{1}{8!}-\bruch{1}{9!}+\bruch{1}{10!}) [/mm] = 1334961.
Aus der Gesamtanzahl und der Anzahl der Permutationen ohne 2 Rosinen in einer Semmel, ergibt sich die Anzahl der Permutationen mit 2 Rosinen in einer Semmel: 362880-1334961=2293839
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit: p = [mm] \bruch{2293839}{3628800}=0,6321
[/mm]
Würde dies so stimmen?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Würde dies so stimmen?
Wenn das stimmen würde, wäre der Erwartungswert auf jeden Fall größer als 1 (0.6*2+0.4*0=1.2). Bei 10 Rosinen für 10 Semmeln erscheint das unwahrscheinlich... =)
Du hast eine zufällige Semmel. Das sind 1/10 des Teigs. Jede der 10 Rosinen ist mit 10% Wahrscheinlichkeit in Deinem Teigstück und mit 90% im Rest. Du willst die Wkeit von 2 mal Kopf, äh... Rosine. Nach welcher Verteilung klingt das?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 11.04.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Du hast eine zufällige Semmel. Das sind 1/10 des Teigs.
> Jede der 10 Rosinen ist mit 10% Wahrscheinlichkeit in
> Deinem Teigstück und mit 90% im Rest. Du willst die Wkeit
> von 2 mal Kopf, äh... Rosine. Nach welcher Verteilung
> klingt das?
Leider weiß ich nicht genau, welche Verteilung dies sein kann, die Binomialverteilung?
Ich habe 10 Semmeln (n-Fächer) und 10 Rosinen (k-Teilchen), die Rosinen sind nicht unterscheidbar und eine Mehrfachbelegung ist erlaubt, da nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, wenn 2 Rosinen in einer Semmeln sind.
Somit würde sich für die Gesamtzahl der möglichen Verteilungen folgendes ergeben: ${n [mm] +k-1\choose [/mm] k}$ = ${10 [mm] +10-1\choose [/mm] 10}$ = [mm] \bruch{19!}{10!(19-10!)} [/mm] = 92378.
Nun brauche ich aber noch die Anzahl der günstigen Fälle, also bei dem eine Semmel genau 2 Rosinen hat. Somit hätte zumindest eine Semmeln, gar keine Rosine, wenn die anderen Semmeln jeweils genau eine Rosine enthalten.
Dann könnte man die Anzahl der Semmeln verringern auf 9, nach der gleichen Formel wie oben, würde sich dann eine Anzahl an Möglichkeiten von 43758 ergeben. Jedoch kommt dann bei der Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{92378}{43758} [/mm] = 0,4736.
Gruß
itse
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Hallo!
> Hallo,
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> > Du hast eine zufällige Semmel. Das sind 1/10 des Teigs.
> > Jede der 10 Rosinen ist mit 10% Wahrscheinlichkeit in
> > Deinem Teigstück und mit 90% im Rest. Du willst die Wkeit
> > von 2 mal Kopf, äh... Rosine. Nach welcher Verteilung
> > klingt das?
>
> Leider weiß ich nicht genau, welche Verteilung dies sein
> kann, die Binomialverteilung?
Genau!
Du gehst das ganze zu kompliziert an:
Da die Rosinen zufällig im Teig verstreut sind, hat jede Rosine unabhängig von den anderen die Wahrscheinlichkeit von 10%, in den 10% Teig zu sein, die du zur Semmel gemacht hast.
Das ist die Binomialverteilung.
Nun berechne
$P(X=2) = [mm] \vektor{10\\2}*\left(\frac{1}{10}\right)^{2}*\left(\frac{9}{10}\right)^{8}$.
[/mm]
> Ich habe 10 Semmeln (n-Fächer) und 10 Rosinen
> (k-Teilchen), die Rosinen sind nicht unterscheidbar und
> eine Mehrfachbelegung ist erlaubt, da nach der
> Wahrscheinlichkeit gefragt ist, wenn 2 Rosinen in einer
> Semmeln sind.
>
> Somit würde sich für die Gesamtzahl der möglichen
> Verteilungen folgendes ergeben: [mm]{n +k-1\choose k}[/mm] = [mm]{10 +10-1\choose 10}[/mm]
> = [mm]\bruch{19!}{10!(19-10!)}[/mm] = 92378.
Ich verstehe deine Überlegung nicht.
Was ist das für ein Fächermodell?
Die angewandte Formel kenne ich nur als Anzahl der Möglichkeiten für Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 11.04.2010 | | Autor: | itse |
> Ich verstehe deine Überlegung nicht.
> Was ist das für ein Fächermodell?
> Die angewandte Formel kenne ich nur als Anzahl der
> Möglichkeiten für Ziehen mit Zurücklegen und ohne
> Beachtung der Reihenfolge.
>
> Grüße,
> Stefan
Vielen Dank für die Antwort, bisher haben wir in der Vorlesung davon nichts besprochen bzw. werden es nie besprechen, dennoch prüfungsrelevant. Somit bin ich bei den Aufgaben relativ ratlos.
Urnenmodell und Fächermodell sind zwei Betrachtungsweisen, aber von der Anzahl der Möglichkeiten zur Berechnung gleich, siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Google-Book, Stochastik für Einsteiger.
Gruß
itse
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