Wahrscheinlichkeit Spiel < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Familie Meister hat im Schweizer Fernsehquiz MEGAHERZ gewonnen und kann nun entweder
den erspielten Betrag entgegen nehmen oder um ein Auto spielen. Sie entscheidet sich für das
Spiel um das Auto.
Dabei kann sie 4 von 9 Feldern aufdecken. Befinden sich unter den aufgedeckten Feldern
mindestens 3 Schlüssel, so gehört das Auto ihnen, andernfalls gehen sie leer aus. Hinter 5 der 9
Feldern befinden sich Schlüssel, hinter den restlichen 4 Feldern Verkehrsschilder.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Familie Meister das Auto gewinnt?
b) In den ersten beiden Feldern hat Familie Meister bereits zwei Schlüssel aufgedeckt.
Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass sie das Auto gewinnt?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei gleichbleibenden Spielregeln in 8
Sendungen mindestens 3 Autos gewonnen werden? |
Ich habe hier für a) p= 0.357142857 bekommen. Und bei b) habe ich eine Wahrscheinlichkeit von p=0.714285714 bekommen.
Stimmen diese Lösungen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Vielen Dank für deine Antwort. Bin ich ja froh. Ja ich habe gestern die Frage mit einem kompletten Lösungsweg angegeben. Jedoch wurde diese Aufgabe irgendwie nicht gepostet, hat ja momentan Störungen. Dann hats mich irgendwie genervt nochmal die ganze Lösung hochzuladen.
Kannst du mir vielleicht noch bei c) helfen.
Es sind ja 8 unabhängige Ereignisse. Deshalb habe ich alle Möglichkeiten die es gibt zu gewinnen miteinander multipliziert:
G = Gewinn V = Verloren
1. G*G*G*G*G*G*G*G = 0.000264689
2. G*G*G*G*G*G*G*V = 0.00047644
3. G*G*G*G*G*G*V*V = 0.000857592
4. G*G*G*G*G*V*V*V = 0.001543666
5. G*G*G*G*V*V*V*V = 0.002778598
6. G*G*G*V*V*V*V*V = 0.005001477
Bei all diesen Möglichkeiten gewinnt man mindestens 3mal.
Alle Zusammengezählt ergeben: p = 0.0109
Irgendwie glaube ich aber nicht, dass das richtig ist. Hätte ich hier mit Gegenereignis arbeiten müssen?
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> p = 0.0109
>
> Irgendwie glaube ich aber nicht, dass das richtig ist.
Das glaube ich auch nicht.
> Hätte ich hier mit Gegenereignis arbeiten müssen?
Ja. Die Aufgabe (c) baut ja auf dem Ergebnis von (a)
auf. Allerdings fehlt da nach meiner Ansicht eine
wichtige Angabe. Laut Aufgabentext hat man ja bei
dem Spiel offenbar die Wahl, ob man sich mit dem
schon erspielten Geldbetrag zufrieden gibt oder
tatsächlich noch auf das Glücksspiel zum Gewinn
des Autos einlassen will. Man müsste also noch wissen,
welcher Prozentsatz der Spieler dies überhaupt tun.
Vermutlich war gemeint, dass man in (c) nur solche
Quizsendungen ins Auge fasst, bei denen tatsächlich
um das Auto gespielt wird. Das Gegenereignis zu
"mindestens 3 Autos gewonnen" ist dann
"gar kein, ein oder zwei Autos gewonnen".
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok vielen Dank. Ich hab mal gerechnet und bin so auf eine Wahrscheinlichkeit von p=0.683106416 gekommen.
Zuerst habe ich die Gegenereignise ausgerechnet:
P(GE1) = "Kein Auto" = 0.29168614
P(GE2) = "Ein Auto" = 0.016204785
P(GE3) = "Zwei Autos"= 0.009002659
P(E) = 1-P(GE1)-P(GE2)-P(GE3)
P(E) = 1 - 0.29168614 - 0.016204785 - 0.009002659 = 0.683106416
ist das jetzt richtig?
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Hallo Marius6d,
> Ok vielen Dank. Ich hab mal gerechnet und bin so auf eine
> Wahrscheinlichkeit von p=0.683106416 gekommen.
>
> Zuerst habe ich die Gegenereignise ausgerechnet:
>
> P(GE1) = "Kein Auto" = 0.29168614
> P(GE2) = "Ein Auto" = 0.016204785
> P(GE3) = "Zwei Autos"= 0.009002659
Hinter diesen Zahlen verstecken sich doch bestimmt wunderschöne Brüche, an denen man häufig bereits ablesen kann, ob die Rechnung plausibel ist;
darum: schreib bitte deine (Teil-)Rechnungen hier auf und benutze Brüche.
Wie man sie hier "schön" schreibt, findest du unter dem Eingabefeld: [mm] \bruch{3}{4}=[/mm] \bruch{3}{4}
>
> P(E) = 1-P(GE1)-P(GE2)-P(GE3)
>
> P(E) = 1 - 0.29168614 - 0.016204785 - 0.009002659 =
> 0.683106416
>
> ist das jetzt richtig?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Gut dann mach ich es halt in Brüchen obwohl das viel aufwändiger ist, da man alle Brüche zuerst auf den gleichen Nenner bringen muss:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Gut dann mach ich es halt in Brüchen obwohl das viel aufwändiger ist, da man alle Brüche zuerst auf den gleichen Nenner bringen muss:
So also, nach einer Stunde rechnen hab ich super Brüche:
Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Auto gewinnt:
[mm] \bruch{5}{14}
[/mm]
Daher das Gegenereignis, dass man kein Auto gewinnt: [mm] \bruch{9}{14}
[/mm]
So dann nach 8 Spielen:
[mm] \bruch{9}{14}^8
[/mm]
P(GE1) = [mm] \bruch{43046721}{1475789056}
[/mm]
Dann Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto gewonnen wird:
P(GE2) = [mm] \bruch{9}{14}^7*\bruch{5}{14}
[/mm]
P(GE2) = [mm] \bruch{23914845}{1475789056}
[/mm]
Dann Wahrscheinlichkeit, dass zwei Autos gewonnen werden:
P(GE3) = [mm] \bruch{9}{14}^6*\bruch{5}{14}^2
[/mm]
P(GE3) = [mm] \bruch{13286025}{1475789056}
[/mm]
P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2) - P(GE3)
P(E) = [mm] \bruch{1475789056}{1475789056}-\bruch{43046721}{1475789056}-\bruch{23914845}{1475789056}-\bruch{13286025}{1475789056}
[/mm]
P(E) = [mm] \bruch{1395541465}{1475789056} [/mm] = 0.9456
So, den einen Fehler hab ich bemerkt, hatte eine Nullstelle zu viel beim abziehen daher ist weniger rausgekommen. Stimmt es jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Di 30.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
dann will ich noch mal in die laufende Diskussion eingreifen 
> Gut dann mach ich es halt in Brüchen obwohl das viel
> aufwändiger ist, da man alle Brüche zuerst auf den
> gleichen Nenner bringen muss:
>
> So also, nach einer Stunde rechnen hab ich super Brüche:
Die folgenden Brüche sind wahrhaftig nicht schön. Womit hast du die denn berechnet? Mein Taschenrechner würde mir was husten...
Aber es geht nur darum, wie Al-Chwarizmi bereits erwähnt hat, zu Anfang mit Brüchen zu rechnen.
Soll heißen, die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil a), dass dass Familie Meister das Auto gewinnt, hast du angegeben mit p=0.357142857. Dies entspricht [mm] \bruch{5}{14}, [/mm] wie du im folgenden richtig angegeben hast.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Auto gewinnt:
>
> [mm]\bruch{5}{14}[/mm]
>
> Daher das Gegenereignis, dass man kein Auto gewinnt:
> [mm]\bruch{9}{14}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So dann nach 8 Spielen:
>
> [mm]\bruch{9}{14}^8[/mm] [mm] \approx{0,0292}
[/mm]
Wahrscheinlichkeit, dass kein Auto gewonnen wird.
> Dann Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto gewonnen wird:
>
> P(GE2) = [mm]\bruch{9}{14}^7*\bruch{5}{14}[/mm]
Nein! Bedenke, dass Auto kann in der 1.,2.,3.,... oder 8. Sendung gewonnen werden. Um alle möglichen Kombinationen zu berücksichtigen, kannst du, da die Wahrscheinlichkeit ein Auto (bzw. kein Auto) zu gewinnen gleich ist, die Binomialverteilung anwenden. Dann ergibt sich
[mm] P(X=\text{"{}ein Auto"})=\vektor{8 \\ 1}*(\bruch{5}{14})^1*(\bruch{9}{14})^7\approx{0,1296}
[/mm]
> P(GE2) = [mm]\bruch{23914845}{1475789056}[/mm]
>
> Dann Wahrscheinlichkeit, dass zwei Autos gewonnen werden:
>
> P(GE3) = [mm]\bruch{9}{14}^6*\bruch{5}{14}^2[/mm]
Leider nicht. Du musst auch hier wieder alle Möglichkeiten berücksichtigen. So kann zum Beispiel in der 1. und 2. Sendung je ein Auto gewonnen werden, aber auch in der 1. und 3. Sendung usw.
> P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2) - P(GE3)
Vom Gedanken her korrekt.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ah ok vielen Dank.
Also dann habe ich bei "Zwei Autos gewinnen" folgenden Binominalkoeffizient genommen:
[mm] \pmat{ n+k-1 \\ k } [/mm] Da es ja nun im Gegensatz zum "1 Auto" eine Ziehung mit Wiederholung ist:
n = 8
k = 2
[mm] \pmat{ 8+2-1 \\ 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 9 \\ 2 }
[/mm]
Das ist dann gleich wieder:
= [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{9!}{2!*(9-2)!}
[/mm]
= 36 Möglichkeiten, hab ich das Richtig gerechnet?
Dann Wäre weiter P(GE3) = [mm] 36*((5/14)^2*(9/14)^6) [/mm] = 0.324
Dann P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2) - P(GE3)
= P(E) = 1 - 0.029168614 - 0.1296 - 0.324
= 0.517
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 01.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ah ok vielen Dank.
>
> Also dann habe ich bei "Zwei Autos gewinnen" folgenden
> Binominalkoeffizient genommen:
>
> [mm]\pmat{ n+k-1 \\ k }[/mm] Da es ja nun im Gegensatz zum "1 Auto"
> eine Ziehung mit Wiederholung ist:
>
> n = 8
>
> k = 2
>
> [mm]\pmat{ 8+2-1 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 9 \\ 2 }[/mm]
>
[...]
> Richtig?
nein. Warum ist es eine Ziehung mit Wiederholung? Du willst doch wissen, auf wie viele Weisen du 2 Autos auf 8 Sendungen verteilen kannst. Es kann jedoch in jeder Sendung nur ein Auto gewonnen werden. Also überlege noch einmal...
Gruß barsch
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Hallo Marius6d,
> Ah ok vielen Dank.
>
> Also dann habe ich bei "Zwei Autos gewinnen" folgenden
> Binominalkoeffizient genommen:
>
> [mm]\pmat{ n+k-1 \\ k }[/mm] Da es ja nun im Gegensatz zum "1 Auto"
> eine Ziehung mit Wiederholung ist:
>
> n = 8
>
> k = 2
>
> [mm]\pmat{ 8+2-1 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 9 \\ 2 }[/mm]
>
> Das ist dann gleich wieder:
>
> = [mm]\bruch{n!}{k!*(n-k)!}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{9!}{2!*(9-2)!}[/mm]
>
> = 36 Möglichkeiten, hab ich das Richtig gerechnet?
Hab' ich dir schon mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Lehrgang zur Kombinatorik empfohlen?
Danach verstehst du vielleicht leichter, was die anderen dir als Lösungen empfehlen möchten.
>
> Dann Wäre weiter P(GE3) = [mm]36*((5/14)^2*(9/14)^6)[/mm] = 0.324
>
> Dann P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2) - P(GE3)
>
> = P(E) = 1 - 0.029168614 - 0.1296 - 0.324
>
> = 0.517
>
> Richtig?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Danke Informix, habe den Kurs mal durchgemacht. so, jetzt komme ich aber nicht mehr draus. Uns interessiert ja wie viele Möglichkeiten es gibt 2 Autos in 8 Sendungen zu gewinnen. Das heisst, dass was uns hier am meisten interessiert sind die verschiedenen Reihenfolgen, also z.b: G,G,V,V,V,V,V,V oder G,V,V,V,G,V,V,V usw.
Dann verstehe ich aber nicht warum barsch bei der Aufgabe [mm] \pmat{ 8 \\ 1 } [/mm] schreibt, weil das ist ja die Formel für: Ziehung ohne Wiederholung und OHNE beachtung der Reihenfolge. Aber warum wird die Reihenfolge hier nicht beachtet, dass ist ja genau das was wir wissen wollen oder etwa nicht? Denn die Ergebnisse die wir wollen kennen wir ja schon naemlich 2 mal Gewinnen 6 mal Verlieren. Wir wollen ja nicht wissen wievel verlieren und wieviel Gewinnen. Sondern in welchen Reihenfolgen dies möglich ist.
Was ist an meinem Gedanken falsch?
Also ich habe jetzt mal weitergerechnet und bin doch darauf gekommen, dass [mm] \pmat{ 8 \\ 2 } [/mm] ist. Dadurch gibt es ausgerechnet 28 Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit das P(GE3) eintrifft also:
[mm] \pmat{ 8 \\ 2 } *((5/14)^2*(9/14)^6) [/mm] = 0.252074452
Daher also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Autos gewonnen werden:
P(E) = 1 - P(GE1) - P(GE2) - P(GE3)
P(E) = 1 - 0.029168614 - 0.1296 - 0.252074452 = 0.589
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Autos gewonnen werden: p = 0.589.
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Hallo Marius6d,
> Danke Informix, habe den Kurs mal durchgemacht. so, jetzt
> komme ich aber nicht mehr draus. Uns interessiert ja wie
> viele Möglichkeiten es gibt 2 Autos in 8 Sendungen zu
> gewinnen. Das heisst, dass was uns hier am meisten
> interessiert sind die verschiedenen Reihenfolgen, also z.b:
> G,G,V,V,V,V,V,V oder G,V,V,V,G,V,V,V usw.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die Frage ist also:
auf wieviele Möglichkeiten kann man die beiden G's auf die 8 Sendungen verteilen, wobei es nicht darauf ankommt, welches Auto man zuerst oder danach gewinnt: "ohne Reihenfolge" und nicht zweimal dasselbe: "ohne Wiederholung"
$ [mm] P(X=\text{"{}zwei Autos"})=\vektor{8 \\ 2}\cdot{}(\bruch{5}{14})^2\cdot{}(\bruch{9}{14})^6$
[/mm]
>
> Dann verstehe ich aber nicht warum barsch bei der Aufgabe
> [mm]\pmat{ 8 \\ 1 }[/mm] schreibt, weil das ist ja die Formel für:
> Ziehung ohne Wiederholung und OHNE beachtung der
> Reihenfolge. Aber warum wird die Reihenfolge hier nicht
> beachtet, dass ist ja genau das was wir wissen wollen oder
> etwa nicht?
nein, die Reihenfolge der Gewinne spielt keine Rolle (s.o.).
> Denn die Ergebnisse die wir wollen kennen wir
> ja schon naemlich 2 mal Gewinnen 6 mal Verlieren. Wir
> wollen ja nicht wissen wievel verlieren und wieviel
> Gewinnen.
Sondern in welchen Reihenfolgen Reihungen dies möglich ist.
>
> Was ist an meinem Gedanken falsch?
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Dann stimmt also meine Lösung von p = 0.589 oder?
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Hallo Marius6d,
> Dann stimmt also meine Lösung von p = 0.589 oder?
Ich hab's nicht ausgerechnet, aber die Formel kannst du doch selbst überprüfen, oder?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
:D ja kann ich reintheoretisch schon, aber da ich in dieser Aufgabe schon so viele Fehler gemacht habe...
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Hallo Marius6d,
> :D ja kann ich reintheoretisch schon, aber da ich in dieser
> Aufgabe schon so viele Fehler gemacht habe...
Wo ist das Problem?
$ [mm] P(X=\text{"{}zwei Autos"})=\vektor{8 \\ 2}\cdot{}(\bruch{5}{14})^2\cdot{}(\bruch{9}{14})^6 [/mm] $
[mm] \vektor{8 \\ 2}= [/mm] [ganze Zahl]
[mm] (\bruch{5}{14})^2= [/mm] [gerundete Zahl vierstellig]
[mm] (\bruch{9}{14})^6= [/mm] [gerundete Zahl vierstellig]
Dann alles mit einander multiplizieren...
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
He? verstehe deine Antwort nicht, habe ich ja schon lang gerechnet, ich rede vom Endergebnis. Aber vergiss es wird schon richtig sein.
Vielen Dank euch allen, weiss jetzt schon viel wichtiges mehr!
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> Gut dann mach ich es halt in Brüchen obwohl das viel
> aufwändiger ist, da man alle Brüche zuerst auf den
> gleichen Nenner bringen muss:
Nee, wichtig wäre vor allem, dass du die elementaren
Brüche zeigst, mit denen du angefangen hast, damit
die Rechnung durchschaubar wird. Nur darum geht' s.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok, aber du hast ja selber gesagt, dass Aufgabe c) auf Aufgabe a) basiert. Dann weisst du ja mit welchen Brüchen gerechnet wurde. Der Rest ist ja jetzt klar. Stimmts jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Di 30.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
> Ja ich habe gestern die Frage mit einem kompletten Lösungsweg
> angegeben.
Na, das stimmt so aber nicht ganz. Oder übersehe ich hier den vermeintlichen Lösungsweg?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Das war die 2. Version :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Di 30.06.2009 | | Autor: | Dinker |
Apropo diese Frage wurde bereits schon mal gestellt (Doppelpost)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Danke Dinker aber das hat Loddar schon vor 8 Stunden festgestellt.
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