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| Aufgabe | Seien [mm] $\Omega_1$ [/mm] und [mm] $\Omega_2$ [/mm] beides abzählbare Mengen und [mm] $\Omega [/mm] := [mm] \Omega_1\times\Omega_2$.
[/mm]
Zeige:
Es ex. ein W'keitsmaß [mm] \IP [/mm] auf [mm] (\Omega, Pot(\Omega)), [/mm] so dass f.a. W'maße [mm] \IP_1 [/mm] auf [mm] (\Omega_1, Pot(\Omega_1)) [/mm] und [mm] \IP_2 [/mm] auf [mm] (\Omega_2, Pot(\Omega_2)) [/mm] gilt, dass [mm] \IP [/mm] nicht das Produktmaß von [mm] \IP_1 [/mm] und [mm] \IP_2 [/mm] ist. |
Hallo liebes Forum,
an obiger Aufgabe hänge ich nun schon eine ganze Weile fest, und ich hoffe, dass jemand mir einen hilfreichen Tipp geben kann. Mein bisheriger Ansatz ist recht bescheiden und bringt mich bislang nicht weiter:
Da [mm] \Omega_1 [/mm] und [mm] \Omega_2 [/mm] beide abz'bar sind, existieren Bijektionen folgender Art:
f: [mm] \Omega_1 \rightarrow \IN,
[/mm]
g: [mm] \Omega_2 \rightarrow \IN.
[/mm]
Mein Gedanke ist, ein Produktmaß [mm] \IP [/mm] mit obigen Eigenschaften zu konstruieren, um dann zu zeigen, dass es nicht das Produktmaß von [mm] \IP_1 [/mm] und [mm] \IP_2 [/mm] sein kann. Ich habe dabei versucht, mit der geometrischen Folge eine Verteilung der Wahrscheinlichkeiten vorzunehmen, also sowas wie:
[mm] \IP(\{ (\omega_1, \omega_2) \}) [/mm] := [mm] \frac{1}{2^{f(\omega_1)\cdot g(\omega_2)}} [/mm] für alle [mm] \omega_1\in\Omega_1 [/mm] und [mm] \omega_1\in\Omega_2,
[/mm]
aber ich bekomme es nicht so recht hin (so klappt es offenbar nicht).
Kann mir jemand eine Hilfestellung geben, oder hat evtl. jemand eine Idee, wie man die obige Aussage geschickt zeigen kann?
Im Voraus schonmal vielen Dank für irgendeinen hilfreichen Tipp 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ein Maß auf einem abzählbaren [mm] $\Omega$ [/mm] kann ohne Probleme einen endlichen Träger haben.
Also z.B.
$P: [mm] \mathcal{P}(\IN_0)\to [/mm] [0,1]$
[mm] $\forall A\in\mathcal{P}(\IN_0):\ P(A):=\frac12 |A\cap \{0,1\}|$
[/mm]
(das sieht komplizierter aus als es ist. Alles was es sagt, ist daß {0} und {1} jeweils Wkeit 1/2 haben und alle anderen Atome Wkeit 0, d.h. ein Münzwurf mit überdimensioniertem Maßraum. Theoretisch wäre auch P({0})=1 ein Wmaß, aber ich wollte zumindest noch ein bißchen Zufall behalten =)
Es gibt bereits auf [mm] $(\{0,1\}^2,\mathcal{P}(\{0,1\}^2)$ [/mm] ein Beispiel für ein Maß, das nicht in Produktmaße zerfällt. Und das kannst Du problemlos zu einem Maß auf ganz [mm] $\mathcal{P}(\IN^2)$ [/mm] deklarieren (bzw. erweitern).
ciao
Stefan
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