Wahrscheinlichkeit -Kugelaufg. < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 23.02.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Eine Urne enthält fünf rote, vier blaue und drei weiße Kugeln.
Man zieht drei Kugeln mit Zurücklegen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine Kugel weiß. |
Hallo.
Also, die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen ist p= [mm] \bruch{3}{12}
[/mm]
Nun kann ich einmal drei weiße Kugeln ziehen. Einmal zwei weiße Kugeln und einmal eine weiße Kugel.
P("drei weiße Kugeln") = [mm] (\bruch{3}{12})^3
[/mm]
P("zwei weiße Kugeln") = [mm] (\bruch{3}{12})^2
[/mm]
P("eine weiße Kugel") = [mm] \bruch{3}{12}
[/mm]
Nun ist meine Frage (wenn das bishier richtig ist), interessieren mich noch die anderen Kugeln? Ich könnte ja eine weiße, zwei rote ziehen, eine weiße und zwei blaue oder eine weiß eine rot und eine blau. Interessiert mich dieser Fall?
Ansonsten würde ich sagen, die Lösung ist
P("Keine weiße Kugel") = 1- [mm] (\bruch{3}{12})^3-(\bruch{3}{12})^2-\bruch{3}{12} [/mm] = 67%
Scheint mir doch leicht etwas zu hoch zu sein?
Grüße Phoney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Do 23.02.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Eine Urne enthält fünf rote, vier blaue und drei weiße Kugeln.
Man zieht drei Kugeln mit Zurücklegen.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwei blaue Kugeln unter den gezogenen? |
Hallo nochmals.
P("genau zwei blaue Kugeln") = [mm] (\bruch{4}{12})^2 [/mm] = 0,1111
Das wäre aber zu stumpf!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 23.02.2006 | | Autor: | Kyrill |
Ja, das wäre wirklich zu stumpf ;)
Du kennst ja die WKT dafür, dass blau gezogen wird: [mm] \bruch{4}{12} [/mm] und die WKT dafür, dass keine Blaue gezogen wird; [mm] \bruch{8}{12}
[/mm]
Jetzt ist klar, dass 2 Kugeln fest angenommen werden und zwar die blauen.
das heißt aus 3 gezogenen sind 2 blau [mm] \Rightarrow \vektor{3 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten die blauen Kugeln anzuordnen.
Jetzt verbleiben noch 8 Möglichkeiten für die eine nicht blaue Kugel.
dann hat man noch die Mächtigkeit der Versuches. Das sind [mm] 12^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{ \vektor{3 \\ 2}*8}{12^3}
[/mm]
und das wäre dann schon die Wahrscheinlichkeit dafür das genau 2 blaue Kugeln gezogen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 23.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Erst einmal danke, für deine Antwort. Die klingt nachvollziehbar, bis auf die weiteren "8 Möglichkeiten" - wenn ich die mir aufschreiben würde, würde ich sicherlich auch drauf kommen. Aber im Moment habe ich mir noch nicht die Mühe gemacht, und zwar da ich es zunächst einmal rechnen möchte.
[mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{3!}{(3-2)! * 2!} [/mm] = 3
Nun sagtest du:
$ [mm] \Rightarrow \bruch{ \vektor{3 \\ 2}\cdot{}8}{12^3} [/mm] $
= [mm] \bruch{3*8}{12^3} [/mm] = 0,0138888
Und wo habe ich mich nun verrechnet? Das Ergebnis ist etwas zu klein?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Do 23.02.2006 | | Autor: | Kyrill |
Hallo,
ich sehe gerade, dass ich mich verschrieben habe. dafür schonmal entschuldigung.
es müsste da eigentlich stehen:
[mm] \bruch{ \vektor{3 \\ 2}*4*4*8}{12^3}=3* \bruch{4}{12}* \bruch{4}{12}* \bruch{8}{12}
[/mm]
Diese Gleichung bekommt man, indem man sagt, 2 Kugeln von 3 sind fest gewählt [mm] \hat= \vektor{3 \\ 2}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für diese Kugeln sind [mm] \bruch{4}{12}*\bruch{4}{12}, [/mm] also jeweils für eine blaue Kugel.
Die [mm] \bruch{8}{12} [/mm] ist die WKT für "keine blaue Kugel".
Man kann auch darauf kommen, wenn man sich ein Baumdiagramm ansieht. Dort gibt es ja 3 Möglichkeiten das Ergebniss 2 blaue Kuglen zu bekommen und zwar, wenn als 1. und 2. oder 1. und 3. oder 2. und 3. die blaue Kugel gezogen wird.
Diese WKTen muss man addieren, da es ja mehrere WKTen gibt die man zu einer WKT vereinigen muss.
[mm] \Rightarrow \bruch{4}{12}*\bruch{4}{12}*\bruch{8}{12}+\bruch{4}{12}*\bruch{8}{12}*\bruch{4}{12}+\bruch{8}{12}*\bruch{4}{12}*\bruch{4}{12}=3*\bruch{4*4*8}{12^3}
[/mm]
Ich hoffe, dass dir das jetzt weiterhilft. Und nochmal entschuldigung, dass ich vorhin etwas falsches aufgeschrieben habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Do 23.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Ahja, okay, wunderbar. Vielen dank für diese Antwort. Der Weg ist nachvollziehbar, trotzdem ist diese Art für mich immer noch eine Fremde Welt. Umso besser, dass du mir diesen Weg noch einmal gezeigt hast. Danke dafür!
Grüße
Phoney
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Hi, phoney,
> Eine Urne enthält fünf rote, vier blaue und drei weiße
> Kugeln.
> Man zieht drei Kugeln mit Zurücklegen.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine Kugel weiß.
> Hallo.
> Also, die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen
> ist p= [mm]\bruch{3}{12}[/mm]
>
> Nun kann ich einmal drei weiße Kugeln ziehen. Einmal zwei
> weiße Kugeln und einmal eine weiße Kugel.
>
> P("drei weiße Kugeln") = [mm](\bruch{3}{12})^3[/mm]
Stimmt!
> P("zwei weiße Kugeln") = [mm](\bruch{3}{12})^2[/mm]
Stimmt nicht! Zeichne mal ein Baumdiagramm. Dann wirst Du sehen, dass es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt, zwei weiße K. zu ziehen:
[mm] (ww\overline{w}), (w\overline{w}w), (\overline{w}ww).
[/mm]
Jede einzelne davon hat die Wahrscheinlichkeit:
[mm] \bruch{3}{12}*\bruch{3}{12}*\bruch{9}{12} [/mm] = [mm] \bruch{3}{64},
[/mm]
alle drei zusammen demnach:
P("zwei weiße Kugeln") = [mm] 3*\bruch{3}{64} [/mm] = [mm] \bruch{9}{64}
[/mm]
> P("eine weiße Kugel") = [mm]\bruch{3}{12}[/mm]
Analog zu oben! Stell's mal selbst richtig!
> Nun ist meine Frage (wenn das bishier richtig ist),
> interessieren mich noch die anderen Kugeln? Ich könnte ja
> eine weiße, zwei rote ziehen, eine weiße und zwei blaue
> oder eine weiß eine rot und eine blau. Interessiert mich
> dieser Fall?
Nein! Hier geht's nur um weiß oder nicht weiß!
> Ansonsten würde ich sagen, die Lösung ist
>
> P("Keine weiße Kugel") = 1-
> [mm](\bruch{3}{12})^3-(\bruch{3}{12})^2-\bruch{3}{12}[/mm] = 67%
Folgefehler!
Zudem umständlich gerechnet, denn mit
P("Keine weiße Kugel") = [mm] (\bruch{9}{12})^{3} \approx [/mm] 0,422
ginge es schneller!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Do 23.02.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Zwerglein, danke für diese klasse Antwort. Ist zu 100% nachvollziehbar!!
>
> > P("eine weiße Kugel") = [mm]\bruch{3}{12}[/mm]
>
> Analog zu oben! Stell's mal selbst richtig!
>
$ [mm] (w\overline{w}\overline{w}), (\overline{w}w\overline{w}), (\overline{w}\overline{w}w). [/mm] $
[mm] P(\overline{w}) [/mm] = [mm] \bruch{9}{12}
[/mm]
P(w) = [mm] \bruch{3}{12}
[/mm]
Damit ergibt sich für die drei Fälle
P = [mm] (\bruch{9}{12}* \bruch{9}{12}*\bruch{3}{12})*3
[/mm]
Daaaankeschöööön 
Gruß
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