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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mo 07.02.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Aus einer m-Menge wird 4 mal zufällig ein Element gezogen, das dann jeweils zurückgelegt wird (ein Element kann also mehrfach gezogen werden). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Element doppelt vorkommt? Wie groß muss m sein, damit diese Wahrscheinlichkeit kleiner als 50% ist? Sie können das auch durch Programmieren berechnen.
Hinweis. Mit "Wahrscheinlichkeit" ist die Anzahl der günstigen geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle gemeint. |
Mein Lösungsvorschlag:
ein Element ziehen: [mm] \bruch{1}{m}
[/mm]
vier Elemente mit zurücklegen ziehen: [mm] (\bruch{1}{m})^{4}
[/mm]
Da wir aber nur diejenigen brauchen, bei denen das Element doppelt vor:
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{m})^{4} [/mm]
weil es 4 Möglichkeiten gibt: Element taucht ein, zwei, drei oder viermal auf.
Ist das bis jetzt richtig? Weil der rest ist dann ja einfach. Die Formel kleiner gleich 0,5 setzen und nach m umformen.
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> Aus einer m-Menge wird 4 mal zufällig ein Element gezogen,
> das dann jeweils zurückgelegt wird (ein Element kann also
> mehrfach gezogen werden). Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Element doppelt vorkommt? Wie
> groß muss m sein, damit diese Wahrscheinlichkeit kleiner
> als 50% ist? Sie können das auch durch Programmieren
> berechnen.
>
> Hinweis. Mit "Wahrscheinlichkeit" ist die Anzahl der
> günstigen geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle
> gemeint.
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> ein Element ziehen: [mm]\bruch{1}{m}[/mm]
>
> vier Elemente mit zurücklegen ziehen: [mm](\bruch{1}{m})^{4}[/mm]
>
> Da wir aber nur diejenigen brauchen, bei denen das Element
> doppelt vor:
>
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](\bruch{1}{m})^{4}[/mm]
>
> weil es 4 Möglichkeiten gibt: Element taucht ein, zwei,
> drei oder viermal auf.
>
> Ist das bis jetzt richtig?
Nein, das ist falsch. Plausibel kannst du dir das für den Fall m=4 (Kugeln nummeriert mit 1, 2, 3 und 4) machen. Da gibt es von den [mm] 4^{4} [/mm] = 256 Möglichkeiten, die du bei 4x Ziehen bekommen kannst (bei Einhaltung der Reihenfolge) nur ganz wenige, bei denen du ausgerechnet alle 4 verschiedenen ziehst, nämlich alle Kombinationen von (1,2,3,4).
Wie geht es nun besser?
Zunächst mal kannst du dir überlegen, dass es vielleicht einfacher ist, die Möglichkeiten zu zählen, bei denen du NUR verschiedene Kugeln ziehst. Die W-keit dafür soll dann am Ende einfach größer als die 50% sein (weil es genau das Gegenteil von dem ist, was du eigentlich anschaust).
Wenn du jetzt bei jedem Zug die Anzahl der "guten" Ausgänge durch alle möglichen Ausgänge (das ist wegen des Zurücklegens immer m) teilst, das multiplizierst, dann hast du deine Ungleichung, die du dann ja einfach lösen kannst:
1. Zug: Egal, also [mm] \frac{m}{m}
[/mm]
2. Zug: Nur die zuerst gezogene darf nicht kommen, also [mm] \frac{m-1}{m}
[/mm]
3. Zug: .... das bekommst du jetzt bestimmt hin 
4. Zug: .... dto.
Weil der rest ist dann ja
> einfach. Die Formel kleiner gleich 0,5 setzen und nach m
> umformen.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 07.02.2011 | | Autor: | hilado |
Also wenn ich dich richtig verstanden hab, schreib ich dass dann so auf:
1. Zug: Egal, also $ [mm] \frac{m}{m} [/mm] $
2. Zug: Nur die zuerst gezogene darf nicht kommen, also $ [mm] \frac{m-1}{m} [/mm] $
3. Zug: $ [mm] \frac{m - 2}{m} [/mm] $, weil sowohl nicht die erste als auch nicht die zweite Kugel vorkommen darf
4. Zug: $ [mm] \frac{m - 3}{m} [/mm] $, weil sowohl nicht die erste, die zweite und die dritte Kugel nicht vorkommen darf
Damit wäre meine Formel so:
1 - [mm] \bruch{m * (m - 1) * (m - 2) * (m - 3)}{m^{4}}
[/mm]
Wie schauts jetzt damit aus ?
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Huhu,
> Damit wäre meine Formel so:
>
> 1 - [mm]\bruch{m * (m - 1) * (m - 2) * (m - 3)}{m^{4}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und der Wert soll nun grösser als 0,5 werden, also wie muss man m wählen?
MFG,
Gono.
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