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Nach einer Verschlüsselung sollen im verschlüsselten Text alle möglichen Bytes (die jeweils aus 8 Bit bestehen) die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Um dies zuüberprüfen wird für jedes Byte des verschlüsselten Zextes die Zahl [mm] x_{0} [/mm] der 0-Bits und und die Zahl [mm] x_{1} [/mm] der 1 Bits ermittelt. Daraus wird schließlich die Zufallsgröße Y = [mm] |x_{0}- x_{1}| [/mm] berechnet. Bestimmen Sie der Erwartungswert E(Y), die Streuung [mm] D^{2}(Y) [/mm] und die Entropie H(Y). |
Geben Sie für eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert ET 015s die Verteilungsfunktion und die Streuung an.
Danke im Voraus
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> Ich habe diese Aufgabe in kein anderes Forum ins Netz
> gestellt
> Nach einer Verschlüsselung sollen im verschlüsselten Text
> alle möglichen Bytes (die jeweils aus 8 Bit bestehen) die
> gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Jedes der [mm] $2^8$ [/mm] Bytes soll die Wahrscheinlichkeit [mm] $2^{-8}$ [/mm] haben im verschlüsselten Text aufzutreten.
> Um dies zuüberprüfen
> wird für jedes Byte des verschlüsselten Zextes die Zahl
> [mm]x_{0}[/mm] der 0-Bits und und die Zahl [mm]x_{1}[/mm] der 1 Bits
> ermittelt. Daraus wird schließlich die Zufallsgröße Y =
> [mm]|x_{0}- x_{1}|[/mm] berechnet. Bestimmen Sie der Erwartungswert
> E(Y), die Streuung [mm]D^{2}(Y)[/mm] und die Entropie H(Y).
Dies offenbar für den Fall, dass nach der Verschlüsselung tatsächlich alle Bytes gleich wahrscheinlich sind.
Du beginnst am Besten damit, die Definitionen der gesuchten Grössen [mm] $\mathrm{E}(Y), \sigma^2(Y)$ [/mm] und [mm] $\mathrm{H}(Y)$ [/mm] hinzuschreiben. Die einzige verbleibende Schwierigkeit scheint mit dann allenfalls noch die Berechnung von [mm] $\mathrm{P}(Y=k)$ [/mm] zu sein. Dazu könntest Du berücksichtigen, dass
[mm]\mathrm{P}(Y=k)=\mathrm{P}(|x_0-x_1|=k)=\mathrm{P}(x_0-x_1=k)+\mathrm{P}(x_0-x_1=-k)=2\cdot\mathrm{P}(x_0-x_1=k)[/mm]
für [mm] $k=2,\ldots, [/mm] 8$.
Aus [mm] $x_0-x_1=k$ [/mm] folgt des weiteren, dass [mm] $x_0=4+\frac{k}{2}$ [/mm] sein muss. Das heisst: [mm] $\mathrm{P}(Y=k)$ [/mm] ist nur für gerade Zahlen [mm] $k=0,2,\ldots, [/mm] 8$ ungleich $0$. Als nächstes kannst Du versuchen, die Zahl der Bytes zu zählen, für die [mm] $x_0-x_1=k$ [/mm] ist ($k$ gerade). Tipp: Binomialkoeffizient. Danach solltest Du in der Lage sein, [mm] $\mathrm{P}(Y=k)$ [/mm] in allgemeiner Form hinzuschreiben:
[mm]\mathrm{P}(Y=k)=\begin{cases} \binom{8}{4}\cdot 2^{-8} &\text{für $k=0$}\\
\binom{8}{4+\frac{k}{2}}\cdot 2^{-7} & \text{für $k$ gerade, $>0$}\\
0 &\text{sonst}
\end{cases}[/mm]
Zur Kontrolle empfiehlt sich zu prüfen, ob die Summe [mm] $\sum_{k=0}^8\mathrm{P}(Y=k)$ [/mm] wie erwartet gleich $1$ ist.
> Geben Sie für eine exponentialverteilte Zufallsgröße
$T$?
> mit
> dem Erwartungswert ET 015s
[mm] $\mathrm{E}(T)=15s$? [/mm] - Eigenartige Schreibweise: [mm] $\red{0}15s$, [/mm] eventuell Tippfehler.
> die Verteilungsfunktion und die Streuung an.
Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen $T$ ist (bekanntlich)
[mm]F(t) := \mathrm{P}(T\leq t)=\begin{cases}1-\alpha\mathrm{e^{-\alpha t}} &\text{für $t\geq 0$}\\
0 &\text{sonst}\end{cases}[/mm]
Und [mm] $\mathrm{E}(T)=\frac{1}{\alpha}$, $\sigma^2(T)=\frac{1}{\alpha^2}$. [/mm] Aus dem gegebenen Erwartungswert bestimmst Du also den Wert von [mm] $\alpha$. [/mm] Der Rest ist Einsetzen in (vermutlich) bekannte Formeln.
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