Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Sa 05.02.2005 | | Autor: | chris28 |
Guten Tag
Ich habe folgende Frage über das Thema Wahrscheinlichkeit und Stochastik.
1. Aufgabe lautet folgend:
Ein Zufallsexperiment habe als Ergebnisse die natürlichen Zahlen von 1 bis 16 . X sei Zufallsvariable für die Anzahl der Teiler. Stelle x in Form einer Tabelle dar. a) Welche Ereignisse werden beschrieben durch (x=4;1<x<=4) beschrieben ? Gibt das Gegenereignis an. b)Gib ein Ereignis an, da man nicht mittels X beschreiben kann.
2. Aufgabe:
Den drei Mathematikern Gauss, Euler und Pascal sollen deren Geburtsjahre zugeordnet werden. Zur Auswahl stehen 1623, 1777, 1707. X sie die Anzahl der richtigen Lösungen. Stelle x in Form einer Tabelle dar. Welche Ereignisse werden beschrieben durch X=0; x=1, x>=2 ?
3. Aufgabe:
Vier karten, die mit 1,2,3,4 numeriert snd, werden gemischt und anschliessend der Reihe nach aufgedeckt. Stimmt eine Zahl auf der Karte mit der Ziehungsnummer der Karte überein, so nennt man dies eine Uebereinstimmung oder auch ein Rencontre. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Rencontre ?
4. Aufgabe:
2 Spieler A und B vereinbaren folgendes Spiel. Fällt beim Werfen mit einer idealen Münze Zahl, erhält A einen Punkt, andernfalls B. Wer zuerst 3 Punkte verzeichnen kann, hat gewonnen und erhält den gesamten Einsatz. Angenommen die Spieler müssen (aus welchem Grund auch immer) das Spiel zu einem Zeitpunkt abbrechen, wo A aber über einen, B über keinen Punkt verfügt. Wie sollten sie den Gesamteinsatz gerechterweise aufteilen ?
a) Nach wie vielen Würfeln höchstens wäre das Spiel beendet ? Löse das Problem durch Ermittlung, diese Höchstzahl an Würfen sei tatsächlich durchgeführt worden.
b)Ermittle eine Ergebnismenge für den Fall dass das Spiel abgebrochen wird, sobald der Gewinner feststeht. Bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Hilfe derjenigen aus a) und löse jetzt das Problem.
Bemerkung: Bei dieser Aufgabe sollte man einen Baum zeichnen.
Für jede Unterstützung bin ich dankbar
Freundliche Grüsse
Christoph
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Hi, Chris,
zunächst Frage 1. Die kostet etwas Zeit, weil man die Zahl der Teiler aller 16 Zahlen erst mal ausrechnen muss. Man erhält:
1 Teiler: nur die 1 selbst.
2 Teiler: alle Primzahlen, also 2, 3, 5, 7, 11, 13.
3 Teiler: die 4 und die 9.
4 Teiler: die 6, 8, 10, 14, 15.
5 Teiler: nur die 16.
6 Teiler: nur die 12.
Die Tabelle enthält für x also nur die 6 Zufallswerte 1, 2, 3, 4, 5, 6.
X=4 beschreibt (nach obiger Vorüberlegung)
das Ereignis A={6; 8; 10; 14; 15}
1 < X [mm] \le [/mm] 4 ergibt zunächst: X=2, X=3, X=4, und damit:
B={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15}
Die jeweiligen Gegenereignisse erhält man, wenn man von den 16 Zahlen genau die obigen weglässt.
b) ist ein bissl komisch gestellt, aber ich würde halt z.B. C={13} oder was Ähnliches nehmen. Die 13 hat zwar 2 Teiler, aber X=2 würde eben alle Zahlen beinhalten, die 2 Teiler haben und nicht nur die 13.
Frage 2: Also was geht?
Entweder, Du ordnest den 3 Leuten nur falsche Jahreszahlen zu; dann ist x=0.
Oder Du hast einen der drei richtig, die andern beiden aber vertauscht; dann ist x=2.
Wenn Du nun aber schon zwei richtig hast, ist nur noch eine Jahreszahl übrig: die muss dann auch stimmen; also: x=3.
(x=2 geht also gar nicht!!)
Nun zu den Ereignissen:
Zuvor: Mit G, E bzw. P kürze ich ab: "Gauß richtig", "Euler richtig" bzw. "Pascal richtig".
Mit [mm] \neg [/mm] G, [mm] \neg [/mm] E, [mm] \neg [/mm] P kürze ich ab: "Gauß falsch", etc.
Also dann: x=0 ergibt das (Elementar-) Ereignis:
{ [mm] (\neg [/mm] G, [mm] \neg [/mm] E, [mm] \neg [/mm] P) }.
x=1 ergibt: { (G, [mm] \neg [/mm] E, [mm] \neg [/mm] P) ; [mm] (\neg [/mm] G, E, [mm] \neg [/mm] P); [mm] (\neg [/mm] G, [mm] \neg [/mm] E, P) }.
Naja und x [mm] \ge [/mm] 2 ist gleichbedeutend mit x=3, also: { (G, E, P) }.
So: Jetzt mach' ich erst mal Pause!
mfG!
Zwerglein
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